高等数学
复习讲义
不是公式堆砌：每章按“知识框架 → 判断方法 → 解题模板 → 例题 → 练习与解析”组织。当前包含函数、极限、连续与导数、微分两章。
函数、极限与连续
核心：极限描述靠近时的趋势；连续要求函数值恰等于该趋势。重点是 \(0/0\) 型极限、分段点与零点定理。
极限与单侧极限 ⭐⭐⭐
双侧极限存在，当且仅当左右极限存在且相等。极限看的是邻近行为，不要求函数在该点有定义。
等价无穷小 ⭐⭐⭐
用于 \(x\to0\) 的乘除结构；不能在加减中直接替换。
连续性 ⭐⭐⭐
函数值存在、极限存在、两者相等，三项缺一不可。
夹逼与零点定理 ⭐⭐
前者处理有界振荡量乘趋零量；后者证明方程至少有一根。
知识点速览
函数与定义域
| 表达式 | 有意义条件 |
|---|---|
| \(\sqrt{A(x)}\) | \(A(x)\ge0\) |
| \(\ln A(x)\) | \(A(x)>0\) |
| \(\frac1{A(x)}\) | \(A(x)\ne0\) |
判断奇偶性时，除验证 \(f(-x)=\pm f(x)\) 外，还必须先确认定义域关于原点对称。
重要极限与等价量
三角函数重要极限使用弧度制。如 \(\frac{1-\cos x}{x\sin x}\) 是乘除结构，可整体替换；但 \(\sin x-x\) 为相减结构，不可这样做。
连续与间断
| 间断类型 | 识别特征 |
|---|---|
| 可去 | 左右极限相等且有限，函数值缺失或不等 |
| 跳跃 | 左右极限有限但不相等 |
| 无穷 | 至少一侧极限为无穷大 |
| 振荡 | 无限振荡，无极限 |
解题模板
- 先代入确认是未定式，而非结果。
- 多项式用因式分解；根式差用有理化；标准小量转为等价量。
- 化简后再代入，并写清所用条件。
典型例题
求 \(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}\)。
代入为 \(0/0\)。在 \(x\ne2\) 时，\(\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\)，故极限为 \(\boxed4\)。极限允许原函数在该点无定义。
\(f(x)=x+1(x<0),\ a(x=0),\ x^2+b(x>0)\)。使其在 \(0\) 连续。
左极限为 \(1\)，右极限为 \(b\)，函数值为 \(a\)。令三者相等，\(\boxed{a=b=1}\)。
证明 \(x^3+x-1=0\) 在 \((0,1)\) 内有根。
令 \(F=x^3+x-1\)。多项式在 \([0,1]\) 连续，且 \(F(0)=-1,F(1)=1\)，端点异号；故存在 \(\xi\in(0,1)\) 使 \(F(\xi)=0\)。
练习与详细解析
1. 求 \(\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{\sin3x}\)
思路：两部分均为标准无穷小。
步骤：\(e^{2x}-1\sim2x,\ \sin3x\sim3x\)，故极限为 \(\frac{2x}{3x}=\boxed{\frac23}\)。
易错：不能漏掉内层系数 \(2,3\)。
2. 判断 \(\frac{|x|}{x}\) 在 \(0\) 处的极限
思路：求左右极限。\(x<0\) 时值为 \(-1\)，\(x>0\) 时值为 \(1\)。左右不等，所以极限不存在，为跳跃间断。
3. 证明 \(e^x+x-2=0\) 在 \((0,1)\) 内有根
令 \(F=e^x+x-2\)。它在 \([0,1]\) 连续，\(F(0)=-1<0,\ F(1)=e-1>0\)。由零点定理，结论成立。
4. 求 \(\lim_{x\to0}x\sin\frac1x\)
\(\left|x\sin\frac1x\right|\le|x|\to0\)。由夹逼定理，答案为 \(\boxed0\)。注意：振荡因子本身没极限，不妨碍乘积有极限。
导数与微分
核心：导数是瞬时变化率与切线斜率；微分是一阶线性近似。重点是链式法则、隐函数与切线法线。
导数定义 ⭐⭐⭐
由增量比的极限定义；可导必连续，连续未必可导。
链式法则 ⭐⭐⭐
所有“函数套函数”均需乘内层导数。
隐函数与参数方程 ⭐⭐
把 \(y\) 视作 \(y(x)\)，或分别对参数求导再相除。
微分近似 ⭐⭐⭐
用容易计算的基准点作一阶近似，注意 \(\approx\) 而非等号。
核心公式
| 规则 | 公式 | 易错提醒 |
|---|---|---|
| 乘积 | \((uv)'=u'v+uv'\) | 不是 \(u'v'\) |
| 商 | \((u/v)'=(u'v-uv')/v^2\) | 分母整体平方 |
| 复合 | \([f(u)]'=f'(u)u'\) | 不可漏内层导数 |
| 参数方程 | \(\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\) | 要求 \(dx/dt\ne0\) |
| 微分 | \(dy=f'(x)dx\) | 是近似主部 |
可导 \(\Rightarrow\) 连续，但连续 \(\not\Rightarrow\) 可导；\(|x|\) 在 \(0\) 连续却不可导。
解题模板
- 先找最外层（和、积、商或复合）。
- 先用外层规则；遇到内层继续链式法则。
- 最后整理，避免一开始过度展开。
典型例题
求 \(y=x^2e^{3x}\sin x\) 的导数。
\(u=x^2e^{3x}\)，则 \(u'=e^{3x}(2x+3x^2)\)。所以 \(\boxed{y'=e^{3x}[(2x+3x^2)\sin x+x^2\cos x]}\)。
圆 \(x^2+y^2=25\) 在 \((3,4)\) 的切线。
两边求导：\(2x+2yy'=0\)，故 \(y'=-x/y\)。点处斜率 \(-3/4\)，所以 \(\boxed{y-4=-\frac34(x-3)}\)。
估算 \(\sqrt{4.04}\)。
取 \(f(x)=\sqrt x,x_0=4,\Delta x=.04\)。\(f'(4)=1/4\)，\(dy=.01\)，故 \(\boxed{\sqrt{4.04}\approx2.01}\)。
练习与详细解析
1. 用定义求 \(f(x)=x^2\) 在 \(1\) 处的导数
\(\frac{(1+\Delta x)^2-1}{\Delta x}=2+\Delta x\)（\(\Delta x\ne0\)），取极限得 \(\boxed2\)。
2. 求 \(y=\ln(1+x^2)\) 的导数
外层为 \(\ln u\)，内层 \(u=1+x^2\)。\(y'=u'/u=\boxed{\frac{2x}{1+x^2}}\)。易错：漏掉 \(2x\)。
3. 求隐函数 \(x^2+xy+y^2=3\) 的导数
求导得 \(2x+(xy)'+2yy'=0\)，即 \(2x+y+xy'+2yy'=0\)。收集 \(y'\)，\(\boxed{y'=-\frac{2x+y}{x+2y}}\)。
4. 用微分估算 \((1.02)^5\)
取 \(f(x)=x^5,x_0=1,dx=.02\)。\(f(1)=1,f'(1)=5\)，所以 \(dy=.1\)，\(\boxed{(1.02)^5\approx1.1}\)。这是一阶近似，不能写等号。
微分中值定理
本章把“某一点的导数”连接到“整个区间的变化”。考试核心不是背结论，而是准确核对各定理的区间条件。
罗尔定理 ⭐⭐⭐
闭区间连续、开区间可导、端点函数值相等，则中间至少有一点导数为零。
拉格朗日中值定理 ⭐⭐⭐
某点切线斜率等于区间平均变化率，是证明不等式和估计增量的主工具。
柯西中值定理 ⭐⭐
两个函数的增量比可转化为某点导数比；是洛必达法则的理论基础。
泰勒公式 ⭐⭐
用多项式在一点附近逼近函数；关注余项与近似误差。
定理链与使用条件
| 定理 | 条件 | 结论 | 看到什么时使用 |
|---|---|---|---|
| 罗尔 | \([a,b]\) 连续，\((a,b)\) 可导，\(f(a)=f(b)\) | 存在 \(\xi\in(a,b)\)，\(f'(\xi)=0\) | 端点等值、证明导数有零点 |
| 拉格朗日 | \([a,b]\) 连续，\((a,b)\) 可导 | \(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) | 估计差值、证明不等式 |
| 柯西 | 两函数连续可导，且 \(g(b)\ne g(a)\) | \(\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\) | 两个增量的比值 |
三个定理都必须先检查“闭区间连续、开区间可导”。不能只写“由中值定理”。罗尔定理是拉格朗日定理在平均变化率为零时的特例。
解题模板
- 写出所用定理和区间 \([a,b]\)。
- 逐项说明连续、可导条件。
- 核对罗尔定理的端点等值，或计算拉格朗日的平均变化率。
- 代入结论，写出 \(\xi\in(a,b)\) 的存在性。
典型例题
证明 \(x^3-3x+1=0\) 在 \((-2,0)\) 内至少有一个根。
令 \(f(x)=x^3-3x+1\)。有 \(f(-2)=-1,\ f(0)=1\)，此题应先用零点定理，不是罗尔定理：多项式在 \([-2,0]\) 连续且端点异号，故存在根。识别定理比硬套更重要。
证明 \(\ln(1+x)
对 \(f(t)=\ln t\) 在 \([1,1+x]\) 用拉格朗日定理：\(\ln(1+x)-\ln1=f'(\xi)x=\frac{x}{\xi}\)，其中 \(\xi>1\)。故 \(\frac{x}{\xi}
写出 \(e^x\) 在 \(x=0\) 的三阶麦克劳林公式。
各阶导数在 \(0\) 处均为 \(1\)，所以 \(\boxed{e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)}\)。用于近似时必须说明 \(x\) 接近 \(0\)。
练习与详细解析
1. 验证 \(f(x)=x^2-4x+3\) 在 \([1,3]\) 是否可用罗尔定理，并求 \(\xi\)
多项式处处连续可导，且 \(f(1)=f(3)=0\)，满足罗尔条件。\(f'(x)=2x-4\)，令其为零得 \(\boxed{\xi=2}\)。
2. 证明 \(|\sin x-\sin y|\le|x-y|\)
若 \(x=y\) 显然。否则对 \(\sin t\) 在以 \(x,y\) 为端点的区间用拉格朗日定理：\(\sin x-\sin y=\cos\xi(x-y)\)。取绝对值并用 \(|\cos\xi|\le1\)，即得结论。
3. 写出 \(\sin x\) 的三阶麦克劳林展开
\(\sin0=0,\cos0=1,-\sin0=0,-\cos0=-1\)，故 \(\boxed{\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)}\)。易错：二次项系数为零，不可误写 \(x^2/2\)。
导数的应用
本章将“会求导”转化为“会读函数图像、会求最值、会做优化”。先找定义域和驻点，再以导数符号决定结论。
单调性 ⭐⭐⭐
\(f'>0\) 则递增，\(f'<0\) 则递减；区间内的符号比某一点导数更重要。
极值与最值 ⭐⭐⭐
极值候选点包括 \(f'=0\)、导数不存在点和闭区间端点。
凹凸与拐点 ⭐⭐
二阶导数符号判凹凸；拐点处凹凸性必须改变。
实际优化 ⭐⭐
设变量、列目标函数、确定定义域、求最值并解释结果。
判断规则
| 目标 | 导数信息 | 必要提醒 |
|---|---|---|
| 单调区间 | \(f'>0\) 递增；\(f'<0\) 递减 | 在每个定义域分段内判断 |
| 极大/极小值 | \(f'\) 从 \(+\) 变 \(-\)：极大；从 \(-\) 变 \(+\)：极小 | \(f'=0\) 只是候选点 |
| 凹凸 | \(f''>0\) 凸；\(f''<0\) 凹 | 按课程教材术语书写 |
| 拐点 | \(f''\) 左右变号 | \(f''=0\) 不是充分条件 |
解题模板
- 写定义域与闭区间。
- 求 \(f'\)，找驻点及不可导点。
- 筛选区间内候选点，与端点一起代回 \(f\)。
- 比较函数值并回答最大、最小值及取值点。
典型例题
讨论 \(f(x)=x^3-3x\) 的单调性和极值。
\(f'(x)=3(x-1)(x+1)\)。符号为 \(+\)、\(-\)、\(+\)，故递增区间为 \((-\infty,-1), (1,\infty)\)，递减区间为 \((-1,1)\)。在 \(-1\) 处极大值 \(2\)，在 \(1\) 处极小值 \(-2\)。
求 \(f(x)=x^3-3x\) 在 \([-2,2]\) 上的最值。
候选点为端点 \(-2,2\) 与驻点 \(-1,1\)。函数值依次为 \(-2,2,2,-2\)。最大值 \(\boxed2\)，最小值 \(\boxed{-2}\)。
周长为 \(20\) 的矩形，何时面积最大？
设一边 \(x\)，另一边 \(10-x\)，\(0
练习与详细解析
1. 求 \(f(x)=x+\frac1x\) 在 \((0,\infty)\) 的最小值
\(f'=1-\frac1{x^2}\)。当 \(0
2. 判断 \(f(x)=x^3\) 的拐点
\(f''(x)=6x\)，在 \(0\) 左右由负变正，故 \((0,0)\) 是拐点。这里不仅有 \(f''(0)=0\)，还验证了变号。
3. 求 \(f(x)=x^2-4x+1\) 在 \([0,5]\) 的最大、最小值
\(f'=2x-4\)，驻点 \(x=2\)。计算 \(f(0)=1,f(2)=-3,f(5)=6\)。故最小值 \(\boxed{-3}\)（\(x=2\)），最大值 \(\boxed6\)（\(x=5\)）。
不定积分
不定积分是求导的逆运算，但“反向”并不意味着逐项生搬公式。考试关键在于先识别被积式结构，再选择直接积分、换元、分部积分或有理函数分解。
原函数与不定积分 ⭐⭐⭐
若 \(F'(x)=f(x)\)，则 \(\int f(x)\,dx=F(x)+C\)。常数 \(C\) 不可遗漏。
凑微分与换元法 ⭐⭐⭐
出现 \(f(g(x))g'(x)\) 的结构时，优先令 \(u=g(x)\)。
分部积分法 ⭐⭐⭐
适合“一个因子求导会简化，另一个易积分”的乘积。
有理函数积分 ⭐⭐
先约分或做多项式除法，再依分母因式分解为部分分式。
核心知识与公式
| 被积函数 | 不定积分 | 使用条件 / 提醒 |
|---|---|---|
| \(x^\alpha\) | \(\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\) | \(\alpha\ne-1\) |
| \(1/x\) | \(\ln|x|+C\) | 绝对值不可漏 |
| \(e^x\) | \(e^x+C\) | |
| \(a^x\) | \(\frac{a^x}{\ln a}+C\) | \(a>0,a\ne1\) |
| \(\sin x,\cos x\) | \(-\cos x+C,\ \sin x+C\) | 注意符号 |
| \(\frac1{1+x^2}\) | \(\arctan x+C\) | |
| \(\frac1{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arcsin x+C\) | \(|x|<1\) 的区间内 |
不定积分结果必须写 \(+C\)。不同原函数只相差一个常数；没有 \(+C\) 的答案不是完整不定积分。
解题方法与判断模板
- 先尝试拆项，直接套基本积分公式。
- 若出现“内函数导数”或只差常数倍，优先凑微分/换元。
- 若为多项式与指数、对数、三角函数的乘积，判断分部积分：选求导后更简单的一项为 \(u\)。
- 若为有理式 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\)，先比较次数；分子次数不低于分母先做除法，再分解分母。
换元法
常见信号：\(\frac{g'(x)}{g(x)}\)、\(\cos(g(x))g'(x)\)、\(e^{g(x)}g'(x)\)、\([g(x)]^\alpha g'(x)\)。凑微分时，补上的常数必须在积分外补偿。
分部积分法
常用选取顺序可记为：反三角/对数优先作 \(u\)，其次多项式，再考虑指数或三角函数。判断标准是：求导后的 \(u'\) 是否更简单，且 \(dv\) 是否容易积分。
有理函数
真分式且分母可分解时，按因子设部分分式。对于线性因子 \((x-a)\) 配 \(\frac A{x-a}\)；不可约二次因子 \(x^2+px+q\) 配 \(\frac{Ax+B}{x^2+px+q}\)。
典型例题
计算 \(\int\frac{2x}{1+x^2}\,dx\)。
分母内层 \(1+x^2\) 的导数正好是 \(2x\)。令 \(u=1+x^2,du=2x\,dx\)，得 \(\int\frac{du}{u}=\boxed{\ln(1+x^2)+C}\)。因 \(1+x^2>0\)，这里可省绝对值。
计算 \(\int xe^x\,dx\)。
选 \(u=x,dv=e^x dx\)，则 \(du=dx,v=e^x\)。由分部积分，\(\int xe^x dx=xe^x-\int e^x dx=\boxed{e^x(x-1)+C}\)。选 \(u=e^x\) 会使问题没有简化，因此不合适。
计算 \(\int\frac{1}{x^2-1}\,dx\)。
\(\frac1{x^2-1}=\frac1{(x-1)(x+1)}=\frac A{x-1}+\frac B{x+1}\)。比较系数得 \(A=\frac12,B=-\frac12\)。故积分为 \(\boxed{\frac12\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C}\)。
复习习题与详细解析
1. 计算 \(\int(3x^2-2+\cos x)\,dx\)
思路：逐项直接积分。
步骤：\(\int3x^2dx=x^3,\int(-2)dx=-2x,\int\cos xdx=\sin x\)。
答案：\(\boxed{x^3-2x+\sin x+C}\)。
易错：每一项合并后只需统一写一个 \(+C\)。
2. 计算 \(\int\frac{x}{x^2+4}\,dx\)
思路：分母内层导数为 \(2x\)，只差常数倍。
步骤：\(\int\frac{x}{x^2+4}dx=\frac12\int\frac{2x}{x^2+4}dx\)。令 \(u=x^2+4\)，得 \(\boxed{\frac12\ln(x^2+4)+C}\)。
3. 计算 \(\int x\ln x\,dx\)（\(x>0\)）
思路：多项式与对数相乘，用分部积分，取 \(u=\ln x,dv=x\,dx\)。
步骤：\(du=dx/x,v=x^2/2\)。故 \(\int x\ln xdx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int xdx=\boxed{\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C}\)。
4. 计算 \(\int\frac{2x+3}{x^2+3x+2}\,dx\)
思路：分母导数正好是 \(2x+3\)。
步骤：令 \(u=x^2+3x+2\)，则 \(du=(2x+3)dx\)。答案为 \(\boxed{\ln|x^2+3x+2|+C}\)。
易错：二次式可能为负，不能擅自去掉绝对值。
5. 计算 \(\int\frac{1}{x(x+1)}\,dx\)
思路：部分分式分解。令 \(\frac1{x(x+1)}=\frac A x+\frac B{x+1}\)，得 \(A=1,B=-1\)。
答案：\(\boxed{\ln|x|-\ln|x+1|+C=\ln\left|\frac{x}{x+1}\right|+C}\)。
常见错误
| 错误做法 | 正确做法与原因 | |
|---|---|---|
| \(\int x^{-1}dx=\frac{x^0}{0}\) | 幂函数公式不适用于 \(\alpha=-1\)，应为 \(\ln|x|+C\)。 | |
| 分部积分后忘记负号 | 牢记 \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\)，建议先写完整公式再代入。 | |
| 换元后仍混用 \(u,x\) | 换元后将积分完全改写为 \(u\) 的式子，积分完再回代。 | |
| 有理函数直接硬积分 | 先判假分式/真分式，再除法或部分分式分解。 |
| 对象 | 公式 | 判断提示 |
|---|---|---|
| 面积（\(x\) 积分） | \(A=\int_a^b(\text{上}-\text{下})dx\) | 先解交点 |
| 绕 \(x\) 轴体积 | \(V=\pi\int_a^b(R^2-r^2)dx\) | 截面垂直于轴 |
| 弧长 | \(L=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx\) | 图像 \(y=f(x)\) |
求 \(y=x\) 与 \(y=x^2\) 围成面积。交点为 \(0,1\)，在 \([0,1]\) 上 \(x\ge x^2\)，故 \(A=\int_0^1(x-x^2)dx=\boxed{1/6}\)。
\(y=\sqrt x,0\le x\le1\) 绕 \(x\) 轴旋转。\(V=\pi\int_0^1(\sqrt x)^2dx=\boxed{\pi/2}\)。
练习与解析
1. 求 \(y=2x\) 与 \(y=x^2\) 围成面积
交点为 \(0,2\)，上方 \(2x\)。\(A=\int_0^2(2x-x^2)dx=\boxed{4/3}\)。
2. 求 \(y=x,0\le x\le1\) 绕 \(x\) 轴体积
\(V=\pi\int_0^1x^2dx=\boxed{\pi/3}\)。注意半径是 \(y=x\)，需平方。
3. 求 \(f(x)=x^2\) 在 \([0,1]\) 的平均值
\(\bar f=\int_0^1x^2dx/(1-0)=\boxed{1/3}\)。
微分方程
微分方程以未知函数及其导数为对象。重点是识别类型：可分离变量、一阶线性、二阶常系数线性方程。
可分离变量 ⭐⭐⭐
可写为 \(g(y)dy=f(x)dx\)，两边积分并代初值。
一阶线性 ⭐⭐⭐
\(y'+P(x)y=Q(x)\)，用积分因子。
二阶常系数齐次 ⭐⭐
由特征方程根的三种情形写通解。
初值问题 ⭐⭐
通解后再代初值确定常数；不可颠倒。
解 \(y'=xy\)。分离得 \(dy/y=x dx\)，积分 \(\ln|y|=x^2/2+C\)，所以 \(\boxed{y=Ce^{x^2/2}}\)（包含零解）。
解 \(y'+y=x\)。\(\mu=e^x\)，故 \((e^xy)'=xe^x\)。积分并整理得 \(\boxed{y=x-1+Ce^{-x}}\)。
练习与解析
1. 解 \(y'=2xy,\ y(0)=3\)
通解 \(y=Ce^{x^2}\)，由 \(y(0)=3\) 得 \(C=3\)。\(\boxed{y=3e^{x^2}}\)。
2. 解 \(y'-2y=0\)
分离或一阶线性均可，\(\boxed{y=Ce^{2x}}\)。
3. 解 \(y''-3y'+2y=0\)
特征方程 \(r^2-3r+2=0\)，根为 \(1,2\)，故 \(\boxed{y=C_1e^x+C_2e^{2x}}\)。
多元函数微分学
多元函数中，偏导数固定其他变量；全微分把多个独立增量的一阶影响相加。极值题必须结合定义域与二阶判别。
偏导与全微分 ⭐⭐⭐
\(f_x,f_y\) 分别描述沿坐标轴方向的变化；\(dz=f_xdx+f_ydy\)。
方向导数与梯度 ⭐⭐
梯度指向增长最快方向，最大方向导数为 \(|\nabla f|\)。
极值判别 ⭐⭐⭐
先解 \(f_x=f_y=0\)，再看 \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\)。
条件极值 ⭐⭐
有约束时用拉格朗日乘数法。
| 判别 | 结论 |
|---|---|
| \(D>0,f_{xx}>0\) | 极小值 |
| \(D>0,f_{xx}<0\) | 极大值 |
| \(D<0\) | 鞍点 |
| \(D=0\) | 该判别法失效 |
\(f=x^2+y^2-2x-4y\)。令偏导为零得 \((1,2)\)，且 \(D=4>0,f_{xx}=2>0\)，故在此取极小值 \(\boxed{-5}\)。
练习：求 \(f=x^2+y^2\) 在 \((1,-2)\) 的全微分
\(f_x=2x,f_y=2y\)，代点得 \(\boxed{dz=2dx-4dy}\)。
练习：判定 \(f=x^2-y^2\) 在原点
\(f_x=f_y=0,D=2\cdot(-2)-0=-4<0\)，故原点为 \(\boxed{\text{鞍点}}\)。
重积分
二重积分是平面区域上的累积。计算成功的关键是画区域、写清边界，再选择更简单的积分次序或坐标系。
直角坐标 ⭐⭐⭐
先定 \(x\) 型或 \(y\) 型区域，再写二次积分。
换序 ⭐⭐⭐
先画图，再改变内外层边界；不要只交换符号。
极坐标 ⭐⭐⭐
圆、扇形、\(x^2+y^2\) 结构优先考虑，面积元为 \(rdrd\theta\)。
在 \(D=[0,1]\times[0,2]\) 上，\(\iint_D(x+y)dA=\int_0^1\int_0^2(x+y)dydx=\boxed3\)。
练习：计算单位圆 \(x^2+y^2\le1\) 上的 \(\iint_D(x^2+y^2)dA\)
用极坐标：\(\int_0^{2\pi}\int_0^1r^2\cdot r\,drd\theta=2\pi\cdot\frac14=\boxed{\pi/2}\)。易错：面积元多一个 \(r\)。
练习：求 \(0\le y\le x\le1\) 上的 \(\iint_D1dA\)
积分即面积：\(\int_0^1\int_0^xdy dx=\int_0^1x dx=\boxed{1/2}\)。
曲线积分与曲面积分
本章首先区分“对弧长”与“对坐标”的积分。计算前必须写清曲线方向、参数化和积分微元；平面区域上的格林公式是高频转换工具。
第一类曲线积分 ⭐⭐
\(\int_Lf\,ds\)，与方向无关，参数化后 \(ds=\sqrt{x'^2+y'^2}dt\)。
第二类曲线积分 ⭐⭐⭐
\(\int_LPdx+Qdy\)，与方向有关，反向时变号。
格林公式 ⭐⭐⭐
将正向闭曲线积分转为二重积分。
曲面积分 ⭐⭐
第一类与方向无关；第二类有方向，闭曲面常用高斯公式。
计算单位圆逆时针 \(\oint_L(-y\,dx+x\,dy)\)。由格林公式，\(\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y=1-(-1)=2\)，故结果为 \(2\) 乘单位圆面积，即 \(\boxed{2\pi}\)。
练习：第二类曲线积分反向后如何变化？
\(\boxed{\text{变为原积分的相反数}}\)。这是方向型积分，与第一类曲线积分不同。
练习：第一类曲线积分 \(\int_L1ds\) 的几何意义
\(\boxed{L\text{ 的弧长}}\)。
无穷级数
无穷级数首先问“收敛还是发散”，其次才是和函数。正项级数比较判别、幂级数收敛域和泰勒展开是最常考的三条主线。
数项级数 ⭐⭐⭐
收敛必要条件：通项必须趋于零；通项趋零却不保证级数收敛。
正项级数 ⭐⭐⭐
比较、比值、根值判别法；\(p\) 级数是标尺。
交错级数 ⭐⭐
项递减且趋零时，由莱布尼茨判别法收敛。
幂级数 ⭐⭐⭐
先找收敛半径，再单独检查两个端点。
| 结论 | 条件 |
|---|---|
| \(\sum1/n^p\) 收敛 | \(p>1\) |
| 比值判别法收敛 | \(\lim|a_{n+1}/a_n|<1\) |
| \(\sum(-1)^{n-1}b_n\) 收敛 | \(b_n\downarrow0\) |
| \(\sum c_n(x-x_0)^n\) | \(|x-x_0| |
练习：判断 \(\sum_{n=1}^\infty1/n\)
这是 \(p=1\) 的调和级数，\(\boxed{\text{发散}}\)。通项 \(1/n\to0\) 只是必要条件。
练习：求 \(\sum_{n=1}^\infty x^n/n!\) 的收敛域
比值判别对任意 \(x\) 都给出极限 \(0\)，故 \(R=\infty\)，收敛域为 \(\boxed{(-\infty,\infty)}\)，和为 \(e^x-1\)。
全书总复习与模拟题
建议用“方法触发词”而非章节名称检索知识：看到端点异号想零点定理；看到内层导数想换元；看到闭曲线想格林；看到圆域想极坐标。
| 题面特征 | 优先方法 |
|---|---|
| \(0/0\)、标准小量 | 结构变形、等价无穷小 |
| 存在根、端点异号 | 连续性与零点定理 |
| 最值、优化 | 导数符号与端点比较 |
| 内层函数及其导数 | 换元积分 |
| 圆、扇形区域 | 极坐标 |
| 幂级数 | 先求 \(R\)，后验端点 |
模拟题（建议限时 60 分钟）
第 1 题：求 \(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}x\)
\(\boxed1\)。使用 \(\ln(1+x)\sim x\)。
第 2 题：求 \(\int_0^1\frac{2x}{1+x^2}dx\)
令 \(u=1+x^2\)，得 \([\ln u]_1^2=\boxed{\ln2}\)。
第 3 题：解 \(y'=y,\ y(0)=2\)
\(\boxed{y=2e^x}\)。
第 4 题：求单位圆上的 \(\iint_D1dA\)
面积为 \(\boxed\pi\)。
第 5 题：判断 \(\sum1/n^2\)
\(p=2>1\)，故 \(\boxed{\text{收敛}}\)。
考前最后检查
考前复习清单
极限先看结构；连续检查“值、极限、相等”；可导必连续；复合必乘内层导数；微分是近似而非等式；零点定理证明的是“至少一个”。