大学线性代数考试复习

线性代数
复习讲义

概念 → 判断 → 模板 → 例题 → 折叠解析。矩阵、公式均由浏览器端 MathJax 排版。

01

行列式 ⭐⭐⭐ 计算/证明

行列式衡量方阵是否压缩空间；非零意味着方程组可唯一求解、矩阵可逆。

\(|A|=\sum_j a_{ij}A_{ij},\quad A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)
判断：先找比例行、零行、可提出公因子；再用行加倍数制造零；最后按零多的行/列展开。行交换变号，行数乘 \(k\) 行列式也乘 \(k\)，行加倍数不变。
例题：\(\left|\begin{smallmatrix}1&2\\3&4\end{smallmatrix}\right|=4-6=-2\ne0\)，故矩阵可逆。
练习：\(\left|\begin{smallmatrix}1&2&3\\2&4&7\\1&1&2\end{smallmatrix}\right|\)

\(R_2\leftarrow R_2-2R_1,R_3\leftarrow R_3-R_1\) 得 \(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&1\\0&-1&-1\end{pmatrix}\)。按第二行展开，结果 \(\boxed{-1}\)。行加倍数不改变行列式。

余子式 \(M_{ij}\) 不带符号；代数余子式 \(A_{ij}\) 才带 \((-1)^{i+j}\)。
02

矩阵 ⭐⭐⭐ 计算题

\((AB)_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj},\quad(AB)C=A(BC),\quad AB\ne BA\text{（一般）}\)

矩阵乘法要求内维相等。它不交换：\(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\) 时 \(AB=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\ne BA=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\)。结合律成立，因为三重求和的分组不变。

练习：\(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\)，求 \(A^2\)

按行乘列：\(\boxed{A^2=\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix}}\)。不要逐元素平方。

公式速查

\((AB)^T=B^TA^T\)（顺序反转）；对称矩阵 \(A^T=A\)；\((A+B)^T=A^T+B^T\)。

03

逆矩阵 ⭐⭐⭐

A^{-1}=\frac1{|A|}A^*\ (|A|\ne0),\qquad(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
等价条件（\(n\) 阶方阵）理解
\(A\) 可逆 \(\Leftrightarrow|A|\ne0\Leftrightarrow r(A)=n\)列向量没有冗余，变换不压扁方向
\(\Leftrightarrow Ax=0\) 仅零解没有非零向量被映为零
求逆：低阶用伴随矩阵；一般用 \((A|E)\to(E|A^{-1})\)。左侧不能化为 \(E\) 即不可逆。
练习：求 \(\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}^{-1}\)

\(\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\3&7&0&1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&1&-3&1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&7&-2\\0&1&-3&1\end{array}\right)\)，故 \(\boxed{\begin{pmatrix}7&-2\\-3&1\end{pmatrix}}\)。

04

矩阵的秩 ⭐⭐⭐

r(A)\le\min(m,n),\quad r(A)=r(A^T),\quad r(AB)\le\min\{r(A),r(B)\}

秩是独立信息的数量。初等行变换可逆，行空间可相互恢复，所以不改变秩；阶梯形的非零行数即秩。

练习：求 \(r\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&1&1\end{pmatrix}\)

消元得 \(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&-1&-2\end{pmatrix}\)，两行非零，\(\boxed{r=2}\)。

05

线性方程组 ⭐⭐⭐

r(A)=r(A|b)\Leftrightarrow\text{有解};\quad r(A)=r(A|b)=n\Leftrightarrow\text{唯一解}

增广矩阵出现 \((0,\ldots,0|c),c\ne0\) 表示矛盾，故无解；有解而秩小于未知数个数则有自由变量，故无穷多解。

练习：\(x+y=1,\ 2x+2y=2\)

\(\left(\begin{array}{cc|c}1&1&1\\2&2&2\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{cc|c}1&1&1\\0&0&0\end{array}\right)\)。秩均为 \(1<2\)，\(\boxed{x=1-t,y=t}\)。

06

向量组与线性相关 ⭐⭐⭐

k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=0:\ \text{仅零解}\Rightarrow\text{无关；有非零解}\Rightarrow\text{相关}

直观上，相关表示某向量可由其余向量表示。将向量作列组成矩阵：\(r=s\) 无关；\(r

练习：\((1,0),(0,1),(1,1)\) 是否无关？

\((1,1)=(1,0)+(0,1)\)，存在非零系数的零组合，故 \(\boxed{\text{相关}}\)；前两个可取为极大无关组。

07

向量空间 ⭐⭐

基同时满足“线性无关”（无冗余）和“张成空间”（足够）；\(\dim V=n\) 表示任一组基都恰有 \(n\) 个向量。

练习：\((1,1),(1,-1)\) 是 \(\mathbb R^2\) 的基吗？

行列式 \(-2\ne0\)，两向量无关；二维中两个无关向量必张成 \(\mathbb R^2\)，故 \(\boxed{\text{是}}\)。

08

特征值与特征向量 ⭐⭐⭐

A\alpha=\lambda\alpha\Longleftrightarrow(A-\lambda E)\alpha=0\Longleftrightarrow|A-\lambda E|=0

最后一步来自齐次方程有非零解当且仅当系数矩阵奇异。步骤：先求特征方程的根，再对每根解齐次方程；特征向量不能为零。

练习：\(A=\operatorname{diag}(2,3)\)

\(|A-\lambda E|=(2-\lambda)(3-\lambda)\)，特征值为 \(2,3\)；对应向量可取 \(\boxed{(1,0)^T,(0,1)^T}\)。

09

矩阵对角化 ⭐⭐⭐

P^{-1}AP=\Lambda,\quad P=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n),\quad\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)

因为 \(A\alpha_i=\lambda_i\alpha_i\)，所以 \(AP=P\Lambda\)。有 \(n\) 个线性无关特征向量是可对角化的充要条件；有 \(n\) 个不同特征值是常用充分条件。

易错点：相似与合同

相似 \(P^{-1}AP\) 研究线性变换与特征值；合同 \(P^TAP\) 化二次型。两者不能混用。

10

二次型 ⭐⭐⭐

f(x)=x^TAx,\quad A=A^T;\qquad A\text{ 正定}\Longleftrightarrow\Delta_1>0,\ldots,\Delta_n>0

Sylvester 判别法的适用条件是实对称矩阵，\(\Delta_i\) 为顺序主子式。

练习：\(x_1^2+2x_2^2\) 是否正定？

\(A=\operatorname{diag}(1,2)\)，\(\Delta_1=1>0,\Delta_2=2>0\)，故 \(\boxed{\text{正定}}\)。

COMPARE

概念对比与公式速查

AB区别 / 联系
余子式代数余子式\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)
相关无关齐次组合有非零解 / 仅零解
极大无关组秩前者是向量组，后者是其个数
相似合同保特征 / 化二次型
行变换列变换均不改秩；解方程通常做行变换
A\text{ 可逆}\Longleftrightarrow|A|\ne0\Longleftrightarrow r(A)=n\Longleftrightarrow Ax=0\text{ 仅零解}\Longleftrightarrow A\text{ 列向量无关}
PRACTICE BANK

章节速查与补充题库

章节必须会最易错
行列式性质化简、展开、参数判零行交换忘记变号
矩阵/逆按行乘列、\((A|E)\) 消元把矩阵逐元素相乘
秩/方程组主元与自由变量、比较增广秩只看 \(r(A)\) 不看 \(r(A|b)\)
向量/空间齐次方程判相关、基与维数把极大无关组误当作秩
特征/二次型逐根求特征向量、顺序主子式特征向量取零；非对称矩阵套 Sylvester

补充练习（含解析）

1. 若三阶 \(|A|=5\)，求 \(|2A|\)

三行均乘 \(2\)，行列式乘 \(2^3\)，故 \(\boxed{40}\)。易错：不能只乘 \(2\)。

2. 求 \(r\begin{pmatrix}1&2\\2&4\\3&6\end{pmatrix}\)

\(R_2-2R_1,R_3-3R_1\) 后只余一非零行，故 \(\boxed{r=1}\)。

3. 解 \(x+y=1,\ 2x+2y=k\)

消元得 \((0,0|k-2)\)。\(k\ne2\) 无解；\(k=2\) 时秩为 \(1<2\)，\(\boxed{x=1-t,y=t}\)。

4. 求 \(\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}\) 的特征值和特征向量

\(|A-\lambda E|=(\lambda-5)(\lambda-2)\)。\(\lambda=5\) 取 \((1,1)^T\)；\(\lambda=2\) 取 \((1,-2)^T\)。

5. 将上题矩阵对角化

取 \(P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-2\end{pmatrix}\)，\(\Lambda=\operatorname{diag}(5,2)\)，故 \(\boxed{P^{-1}AP=\Lambda}\)。列顺序必须和对角元同步。

6. 判定 \(2x^2+2xy+2y^2\) 正定性

对应实对称 \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)，\(\Delta_1=2>0,\Delta_2=3>0\)，故 \(\boxed{\text{正定}}\)。

7. 证明 \(A\) 可逆当且仅当 \(Ax=0\) 仅零解

可逆时左乘 \(A^{-1}\) 得 \(x=0\)；反之，仅零解表示列无关，故 \(r(A)=n\)，从而 \(|A|\ne0\)，矩阵可逆。

FINAL REVIEW

总复习与模拟题

方法触发词：“可逆”→行列式/秩/零空间；“独立”→齐次方程；“方程组”→增广矩阵比秩；“特征”→\(|A-\lambda E|=0\)；“正定”→先验对称再用顺序主子式。
模拟 1：何时 \(Ax=b\) 唯一解？

\(\boxed{r(A)=r(A|b)=n}\)：前者保证有解，等于未知量数保证无自由变量。

模拟 2：不同特征值的特征向量为什么无关？

若存在最短的非平凡相关组合，左乘 \(A\) 后减去某特征值倍原式，能得到更短的非平凡相关组合，矛盾；故无关。

考前 5 分钟：行交换使行列式变号；\(AB\) 一般不交换；\((AB)^{-1}\) 顺序反转；秩数主元；特征向量非零；Sylvester 仅用于实对称矩阵。