学习目标
掌握定义、公式与定理的适用条件；能从题目结构选择方法，并通过原讲义例题与练习检验掌握程度。
第 2 章：导数与微分
核心：导数是瞬时变化率与切线斜率；微分是一阶线性近似。重点是链式法则、隐函数与切线法线。
1. 本章复习目标
2. 知识框架
概念与性质
由基本定义出发，梳理性质、公式和定理条件。
方法与应用
结合解题模板、例题和练习完成从理解到计算的迁移。
3. 核心知识点
原讲义内容
导数定义 ⭐⭐⭐
由增量比的极限定义；可导必连续，连续未必可导。
链式法则 ⭐⭐⭐
所有“函数套函数”均需乘内层导数。
隐函数与参数方程 ⭐⭐
把 \(y\) 视作 \(y(x)\)，或分别对参数求导再相除。
微分近似 ⭐⭐⭐
用容易计算的基准点作一阶近似，注意 \(\approx\) 而非等号。
核心公式
\(f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)
| 规则 | 公式 | 易错提醒 |
|---|---|---|
| 乘积 | \((uv)'=u'v+uv'\) | 不是 \(u'v'\) |
| 商 | \((u/v)'=(u'v-uv')/v^2\) | 分母整体平方 |
| 复合 | \([f(u)]'=f'(u)u'\) | 不可漏内层导数 |
| 参数方程 | \(\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\) | 要求 \(dx/dt\ne0\) |
| 微分 | \(dy=f'(x)dx\) | 是近似主部 |
\((x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1},\quad(e^x)'=e^x,\quad(\ln x)'=1/x,\quad(\sin x)'=\cos x,\quad(\cos x)'=-\sin x\)
可导 \(\Rightarrow\) 连续，但连续 \(\not\Rightarrow\) 可导；\(|x|\) 在 \(0\) 连续却不可导。
解题模板
复杂函数求导：
- 先找最外层（和、积、商或复合）。
- 先用外层规则；遇到内层继续链式法则。
- 最后整理，避免一开始过度展开。
典型例题
例 1 · 复合乘积
求 \(y=x^2e^{3x}\sin x\) 的导数。
\(u=x^2e^{3x}\)，则 \(u'=e^{3x}(2x+3x^2)\)。所以 \(\boxed{y'=e^{3x}[(2x+3x^2)\sin x+x^2\cos x]}\)。
例 2 · 隐函数切线
圆 \(x^2+y^2=25\) 在 \((3,4)\) 的切线。
两边求导：\(2x+2yy'=0\)，故 \(y'=-x/y\)。点处斜率 \(-3/4\)，所以 \(\boxed{y-4=-\frac34(x-3)}\)。
例 3 · 微分近似
估算 \(\sqrt{4.04}\)。
取 \(f(x)=\sqrt x,x_0=4,\Delta x=.04\)。\(f'(4)=1/4\)，\(dy=.01\)，故 \(\boxed{\sqrt{4.04}\approx2.01}\)。
练习与详细解析
1. 用定义求 \(f(x)=x^2\) 在 \(1\) 处的导数
\(\frac{(1+\Delta x)^2-1}{\Delta x}=2+\Delta x\)（\(\Delta x\ne0\)），取极限得 \(\boxed2\)。
2. 求 \(y=\ln(1+x^2)\) 的导数
外层为 \(\ln u\)，内层 \(u=1+x^2\)。\(y'=u'/u=\boxed{\frac{2x}{1+x^2}}\)。易错：漏掉 \(2x\)。
3. 求隐函数 \(x^2+xy+y^2=3\) 的导数
求导得 \(2x+(xy)'+2yy'=0\)，即 \(2x+y+xy'+2yy'=0\)。收集 \(y'\)，\(\boxed{y'=-\frac{2x+y}{x+2y}}\)。
4. 用微分估算 \((1.02)^5\)
取 \(f(x)=x^5,x_0=1,dx=.02\)。\(f(1)=1,f'(1)=5\)，所以 \(dy=.1\)，\(\boxed{(1.02)^5\approx1.1}\)。这是一阶近似，不能写等号。
4. 常见题型
方法选择
原讲义中对应的解题模板与判断条件已完整保留在“核心知识点”区。
5. 典型例题
例题使用方式
先独立完成原讲义中的例题，再核对推导和公式条件。
6. 练习题
练习与解析
原有折叠练习、答案与解析均保留在“核心知识点”区。
7. 易错点
8. 公式速查
| 复习顺序 | 使用要求 | 检查项 |
|---|---|---|
| 定义与定理 | 先确认适用条件 | 对象、范围、已知条件 |
| 公式与计算 | 代入前保持符号一致 | 变量、上下标、边界或矩阵维数 |
| 结论 | 写清结果的条件或范围 | 数值、符号和逻辑方向 |
9. 本章总结
必须记忆
定义、公式与定理条件。
必须理解
概念关系与方法选择依据。
必须会做
原讲义中的例题、练习与综合题型。
容易丢分
忽略条件、符号不严谨或跳过关键步骤。