学习目标
掌握定义、公式与定理的适用条件；能从题目结构选择方法，并通过原讲义例题与练习检验掌握程度。
第 8 章：微分方程
微分方程以未知函数及其导数为对象。重点是识别类型：可分离变量、一阶线性、二阶常系数线性方程。
1. 本章复习目标
2. 知识框架
概念与性质
由基本定义出发，梳理性质、公式和定理条件。
方法与应用
结合解题模板、例题和练习完成从理解到计算的迁移。
3. 核心知识点
原讲义内容
可分离变量 ⭐⭐⭐
可写为 \(g(y)dy=f(x)dx\)，两边积分并代初值。
一阶线性 ⭐⭐⭐
\(y'+P(x)y=Q(x)\)，用积分因子。
二阶常系数齐次 ⭐⭐
由特征方程根的三种情形写通解。
初值问题 ⭐⭐
通解后再代初值确定常数；不可颠倒。
\(y'+P(x)y=Q(x),\quad \mu(x)=e^{\int P(x)dx},\quad y=\frac{\int\mu Qdx+C}{\mu}\)
例 1 · 可分离变量
解 \(y'=xy\)。分离得 \(dy/y=x dx\)，积分 \(\ln|y|=x^2/2+C\)，所以 \(\boxed{y=Ce^{x^2/2}}\)（包含零解）。
例 2 · 一阶线性
解 \(y'+y=x\)。\(\mu=e^x\)，故 \((e^xy)'=xe^x\)。积分并整理得 \(\boxed{y=x-1+Ce^{-x}}\)。
练习与解析
1. 解 \(y'=2xy,\ y(0)=3\)
通解 \(y=Ce^{x^2}\)，由 \(y(0)=3\) 得 \(C=3\)。\(\boxed{y=3e^{x^2}}\)。
2. 解 \(y'-2y=0\)
分离或一阶线性均可，\(\boxed{y=Ce^{2x}}\)。
3. 解 \(y''-3y'+2y=0\)
特征方程 \(r^2-3r+2=0\)，根为 \(1,2\)，故 \(\boxed{y=C_1e^x+C_2e^{2x}}\)。
4. 常见题型
方法选择
原讲义中对应的解题模板与判断条件已完整保留在“核心知识点”区。
5. 典型例题
例题使用方式
先独立完成原讲义中的例题，再核对推导和公式条件。
6. 练习题
练习与解析
原有折叠练习、答案与解析均保留在“核心知识点”区。
7. 易错点
8. 公式速查
| 复习顺序 | 使用要求 | 检查项 |
|---|---|---|
| 定义与定理 | 先确认适用条件 | 对象、范围、已知条件 |
| 公式与计算 | 代入前保持符号一致 | 变量、上下标、边界或矩阵维数 |
| 结论 | 写清结果的条件或范围 | 数值、符号和逻辑方向 |
9. 本章总结
必须记忆
定义、公式与定理条件。
必须理解
概念关系与方法选择依据。
必须会做
原讲义中的例题、练习与综合题型。
容易丢分
忽略条件、符号不严谨或跳过关键步骤。