学习目标
掌握定义、公式与定理的适用条件；能从题目结构选择方法，并通过原讲义例题与练习检验掌握程度。
第 5 章：不定积分
不定积分是求导的逆运算，但“反向”并不意味着逐项生搬公式。考试关键在于先识别被积式结构，再选择直接积分、换元、分部积分或有理函数分解。
1. 本章复习目标
2. 知识框架
概念与性质
由基本定义出发，梳理性质、公式和定理条件。
方法与应用
结合解题模板、例题和练习完成从理解到计算的迁移。
3. 核心知识点
原讲义内容
原函数与不定积分 ⭐⭐⭐
若 \(F'(x)=f(x)\)，则 \(\int f(x)\,dx=F(x)+C\)。常数 \(C\) 不可遗漏。
凑微分与换元法 ⭐⭐⭐
出现 \(f(g(x))g'(x)\) 的结构时，优先令 \(u=g(x)\)。
分部积分法 ⭐⭐⭐
适合“一个因子求导会简化，另一个易积分”的乘积。
有理函数积分 ⭐⭐
先约分或做多项式除法，再依分母因式分解为部分分式。
核心知识与公式
\(\int f(x)\,dx=F(x)+C\quad\Longleftrightarrow\quad F'(x)=f(x)\)
| 被积函数 | 不定积分 | 使用条件 / 提醒 |
|---|---|---|
| \(x^\alpha\) | \(\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\) | \(\alpha\ne-1\) |
| \(1/x\) | \(\ln|x|+C\) | 绝对值不可漏 |
| \(e^x\) | \(e^x+C\) | |
| \(a^x\) | \(\frac{a^x}{\ln a}+C\) | \(a>0,a\ne1\) |
| \(\sin x,\cos x\) | \(-\cos x+C,\ \sin x+C\) | 注意符号 |
| \(\frac1{1+x^2}\) | \(\arctan x+C\) | |
| \(\frac1{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arcsin x+C\) | \(|x|<1\) 的区间内 |
不定积分结果必须写 \(+C\)。不同原函数只相差一个常数；没有 \(+C\) 的答案不是完整不定积分。
解题方法与判断模板
方法选择：
- 先尝试拆项，直接套基本积分公式。
- 若出现“内函数导数”或只差常数倍，优先凑微分/换元。
- 若为多项式与指数、对数、三角函数的乘积，判断分部积分：选求导后更简单的一项为 \(u\)。
- 若为有理式 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\)，先比较次数；分子次数不低于分母先做除法，再分解分母。
换元法
\(\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du,\quad u=g(x)\)
常见信号：\(\frac{g'(x)}{g(x)}\)、\(\cos(g(x))g'(x)\)、\(e^{g(x)}g'(x)\)、\([g(x)]^\alpha g'(x)\)。凑微分时，补上的常数必须在积分外补偿。
分部积分法
\(\int u\,dv=uv-\int v\,du\)
常用选取顺序可记为：反三角/对数优先作 \(u\)，其次多项式，再考虑指数或三角函数。判断标准是：求导后的 \(u'\) 是否更简单，且 \(dv\) 是否容易积分。
有理函数
真分式且分母可分解时，按因子设部分分式。对于线性因子 \((x-a)\) 配 \(\frac A{x-a}\)；不可约二次因子 \(x^2+px+q\) 配 \(\frac{Ax+B}{x^2+px+q}\)。
典型例题
例 1 · 凑微分
计算 \(\int\frac{2x}{1+x^2}\,dx\)。
分母内层 \(1+x^2\) 的导数正好是 \(2x\)。令 \(u=1+x^2,du=2x\,dx\)，得 \(\int\frac{du}{u}=\boxed{\ln(1+x^2)+C}\)。因 \(1+x^2>0\)，这里可省绝对值。
例 2 · 分部积分
计算 \(\int xe^x\,dx\)。
选 \(u=x,dv=e^x dx\)，则 \(du=dx,v=e^x\)。由分部积分，\(\int xe^x dx=xe^x-\int e^x dx=\boxed{e^x(x-1)+C}\)。选 \(u=e^x\) 会使问题没有简化，因此不合适。
例 3 · 有理函数
计算 \(\int\frac{1}{x^2-1}\,dx\)。
\(\frac1{x^2-1}=\frac1{(x-1)(x+1)}=\frac A{x-1}+\frac B{x+1}\)。比较系数得 \(A=\frac12,B=-\frac12\)。故积分为 \(\boxed{\frac12\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C}\)。
复习习题与详细解析
1. 计算 \(\int(3x^2-2+\cos x)\,dx\)
思路：逐项直接积分。
步骤：\(\int3x^2dx=x^3,\int(-2)dx=-2x,\int\cos xdx=\sin x\)。
答案：\(\boxed{x^3-2x+\sin x+C}\)。
易错：每一项合并后只需统一写一个 \(+C\)。
2. 计算 \(\int\frac{x}{x^2+4}\,dx\)
思路：分母内层导数为 \(2x\)，只差常数倍。
步骤：\(\int\frac{x}{x^2+4}dx=\frac12\int\frac{2x}{x^2+4}dx\)。令 \(u=x^2+4\)，得 \(\boxed{\frac12\ln(x^2+4)+C}\)。
3. 计算 \(\int x\ln x\,dx\)（\(x>0\)）
思路：多项式与对数相乘，用分部积分，取 \(u=\ln x,dv=x\,dx\)。
步骤：\(du=dx/x,v=x^2/2\)。故 \(\int x\ln xdx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int xdx=\boxed{\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C}\)。
4. 计算 \(\int\frac{2x+3}{x^2+3x+2}\,dx\)
思路：分母导数正好是 \(2x+3\)。
步骤：令 \(u=x^2+3x+2\)，则 \(du=(2x+3)dx\)。答案为 \(\boxed{\ln|x^2+3x+2|+C}\)。
易错：二次式可能为负，不能擅自去掉绝对值。
5. 计算 \(\int\frac{1}{x(x+1)}\,dx\)
思路：部分分式分解。令 \(\frac1{x(x+1)}=\frac A x+\frac B{x+1}\)，得 \(A=1,B=-1\)。
答案：\(\boxed{\ln|x|-\ln|x+1|+C=\ln\left|\frac{x}{x+1}\right|+C}\)。
常见错误
| 错误做法 | 正确做法与原因 | |
|---|---|---|
| \(\int x^{-1}dx=\frac{x^0}{0}\) | 幂函数公式不适用于 \(\alpha=-1\)，应为 \(\ln|x|+C\)。 | |
| 分部积分后忘记负号 | 牢记 \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\)，建议先写完整公式再代入。 | |
| 换元后仍混用 \(u,x\) | 换元后将积分完全改写为 \(u\) 的式子，积分完再回代。 | |
| 有理函数直接硬积分 | 先判假分式/真分式，再除法或部分分式分解。 |
| 复习顺序 | 使用要求 | 检查项 |
|---|---|---|
| 定义与定理 | 先确认适用条件 | 对象、范围、已知条件 |
| 公式与计算 | 代入前保持符号一致 | 变量、上下标、边界或矩阵维数 |
| 结论 | 写清结果的条件或范围 | 数值、符号和逻辑方向 |
9. 本章总结
必须记忆
定义、公式与定理条件。
必须理解
概念关系与方法选择依据。
必须会做
原讲义中的例题、练习与综合题型。
容易丢分
忽略条件、符号不严谨或跳过关键步骤。