学习目标
掌握定义、公式与定理的适用条件；能从题目结构选择方法，并通过原讲义例题与练习检验掌握程度。
第 12 章：无穷级数
无穷级数首先问“收敛还是发散”，其次才是和函数。正项级数比较判别、幂级数收敛域和泰勒展开是最常考的三条主线。
1. 本章复习目标
2. 知识框架
概念与性质
由基本定义出发，梳理性质、公式和定理条件。
方法与应用
结合解题模板、例题和练习完成从理解到计算的迁移。
3. 核心知识点
原讲义内容
数项级数 ⭐⭐⭐
收敛必要条件：通项必须趋于零；通项趋零却不保证级数收敛。
正项级数 ⭐⭐⭐
比较、比值、根值判别法；\(p\) 级数是标尺。
交错级数 ⭐⭐
项递减且趋零时，由莱布尼茨判别法收敛。
幂级数 ⭐⭐⭐
先找收敛半径，再单独检查两个端点。
| 结论 | 条件 |
|---|---|
| \(\sum1/n^p\) 收敛 | \(p>1\) |
| 比值判别法收敛 | \(\lim|a_{n+1}/a_n|<1\) |
| \(\sum(-1)^{n-1}b_n\) 收敛 | \(b_n\downarrow0\) |
| \(\sum c_n(x-x_0)^n\) | \(|x-x_0| |
\(e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\quad\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n\ (|x|<1)\)
练习：判断 \(\sum_{n=1}^\infty1/n\)
这是 \(p=1\) 的调和级数，\(\boxed{\text{发散}}\)。通项 \(1/n\to0\) 只是必要条件。
练习：求 \(\sum_{n=1}^\infty x^n/n!\) 的收敛域
比值判别对任意 \(x\) 都给出极限 \(0\)，故 \(R=\infty\)，收敛域为 \(\boxed{(-\infty,\infty)}\)，和为 \(e^x-1\)。
4. 常见题型
方法选择
原讲义中对应的解题模板与判断条件已完整保留在“核心知识点”区。
5. 典型例题
例题使用方式
先独立完成原讲义中的例题，再核对推导和公式条件。
6. 练习题
练习与解析
原有折叠练习、答案与解析均保留在“核心知识点”区。
7. 易错点
8. 公式速查
| 复习顺序 | 使用要求 | 检查项 |
|---|---|---|
| 定义与定理 | 先确认适用条件 | 对象、范围、已知条件 |
| 公式与计算 | 代入前保持符号一致 | 变量、上下标、边界或矩阵维数 |
| 结论 | 写清结果的条件或范围 | 数值、符号和逻辑方向 |
9. 本章总结
必须记忆
定义、公式与定理条件。
必须理解
概念关系与方法选择依据。
必须会做
原讲义中的例题、练习与综合题型。
容易丢分
忽略条件、符号不严谨或跳过关键步骤。