学习目标
掌握定义、公式与定理的适用条件；能从题目结构选择方法，并通过原讲义例题与练习检验掌握程度。
第 4 章：导数的应用
本章将“会求导”转化为“会读函数图像、会求最值、会做优化”。先找定义域和驻点，再以导数符号决定结论。
1. 本章复习目标
2. 知识框架
概念与性质
由基本定义出发，梳理性质、公式和定理条件。
方法与应用
结合解题模板、例题和练习完成从理解到计算的迁移。
3. 核心知识点
原讲义内容
单调性 ⭐⭐⭐
\(f'>0\) 则递增，\(f'<0\) 则递减；区间内的符号比某一点导数更重要。
极值与最值 ⭐⭐⭐
极值候选点包括 \(f'=0\)、导数不存在点和闭区间端点。
凹凸与拐点 ⭐⭐
二阶导数符号判凹凸；拐点处凹凸性必须改变。
实际优化 ⭐⭐
设变量、列目标函数、确定定义域、求最值并解释结果。
判断规则
| 目标 | 导数信息 | 必要提醒 |
|---|---|---|
| 单调区间 | \(f'>0\) 递增；\(f'<0\) 递减 | 在每个定义域分段内判断 |
| 极大/极小值 | \(f'\) 从 \(+\) 变 \(-\)：极大；从 \(-\) 变 \(+\)：极小 | \(f'=0\) 只是候选点 |
| 凹凸 | \(f''>0\) 凸；\(f''<0\) 凹 | 按课程教材术语书写 |
| 拐点 | \(f''\) 左右变号 | \(f''=0\) 不是充分条件 |
解题模板
闭区间最值：
- 写定义域与闭区间。
- 求 \(f'\)，找驻点及不可导点。
- 筛选区间内候选点，与端点一起代回 \(f\)。
- 比较函数值并回答最大、最小值及取值点。
典型例题
例 1 · 单调与极值
讨论 \(f(x)=x^3-3x\) 的单调性和极值。
\(f'(x)=3(x-1)(x+1)\)。符号为 \(+\)、\(-\)、\(+\)，故递增区间为 \((-\infty,-1), (1,\infty)\)，递减区间为 \((-1,1)\)。在 \(-1\) 处极大值 \(2\)，在 \(1\) 处极小值 \(-2\)。
例 2 · 闭区间最值
求 \(f(x)=x^3-3x\) 在 \([-2,2]\) 上的最值。
候选点为端点 \(-2,2\) 与驻点 \(-1,1\)。函数值依次为 \(-2,2,2,-2\)。最大值 \(\boxed2\)，最小值 \(\boxed{-2}\)。
例 3 · 优化
周长为 \(20\) 的矩形，何时面积最大？
设一边 \(x\)，另一边 \(10-x\)，\(0
练习与详细解析
1. 求 \(f(x)=x+\frac1x\) 在 \((0,\infty)\) 的最小值
\(f'=1-\frac1{x^2}\)。当 \(0
2. 判断 \(f(x)=x^3\) 的拐点
\(f''(x)=6x\)，在 \(0\) 左右由负变正，故 \((0,0)\) 是拐点。这里不仅有 \(f''(0)=0\)，还验证了变号。
3. 求 \(f(x)=x^2-4x+1\) 在 \([0,5]\) 的最大、最小值
\(f'=2x-4\)，驻点 \(x=2\)。计算 \(f(0)=1,f(2)=-3,f(5)=6\)。故最小值 \(\boxed{-3}\)（\(x=2\)），最大值 \(\boxed6\)（\(x=5\)）。
4. 常见题型
方法选择
原讲义中对应的解题模板与判断条件已完整保留在“核心知识点”区。
5. 典型例题
例题使用方式
先独立完成原讲义中的例题，再核对推导和公式条件。
6. 练习题
练习与解析
原有折叠练习、答案与解析均保留在“核心知识点”区。
7. 易错点
8. 公式速查
| 复习顺序 | 使用要求 | 检查项 |
|---|---|---|
| 定义与定理 | 先确认适用条件 | 对象、范围、已知条件 |
| 公式与计算 | 代入前保持符号一致 | 变量、上下标、边界或矩阵维数 |
| 结论 | 写清结果的条件或范围 | 数值、符号和逻辑方向 |
9. 本章总结
必须记忆
定义、公式与定理条件。
必须理解
概念关系与方法选择依据。
必须会做
原讲义中的例题、练习与综合题型。
容易丢分
忽略条件、符号不严谨或跳过关键步骤。