学习目标
掌握定义、公式与定理的适用条件；能从题目结构选择方法，并通过原讲义例题与练习检验掌握程度。
第 7 章：定积分的应用
应用题的第一步永远是画草图、确定边界。面积取非负，体积由截面面积累加；旋转轴和变量必须对应。
1. 本章复习目标
2. 知识框架
概念与性质
由基本定义出发，梳理性质、公式和定理条件。
方法与应用
结合解题模板、例题和练习完成从理解到计算的迁移。
3. 核心知识点
原讲义内容
平面面积 ⭐⭐⭐
上减下或右减左；交点决定积分区间。
旋转体体积 ⭐⭐⭐
圆盘/垫片法与柱壳法按切片方向选择。
弧长 ⭐⭐
先确认函数光滑；曲线弧长由微元累加。
平均值 ⭐⭐
\(\frac1{b-a}\int_a^bf(x)dx\) 是区间平均高度。
| 对象 | 公式 | 判断提示 |
|---|---|---|
| 面积（\(x\) 积分） | \(A=\int_a^b(\text{上}-\text{下})dx\) | 先解交点 |
| 绕 \(x\) 轴体积 | \(V=\pi\int_a^b(R^2-r^2)dx\) | 截面垂直于轴 |
| 弧长 | \(L=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx\) | 图像 \(y=f(x)\) |
例 1 · 面积
求 \(y=x\) 与 \(y=x^2\) 围成面积。交点为 \(0,1\)，在 \([0,1]\) 上 \(x\ge x^2\)，故 \(A=\int_0^1(x-x^2)dx=\boxed{1/6}\)。
例 2 · 体积
\(y=\sqrt x,0\le x\le1\) 绕 \(x\) 轴旋转。\(V=\pi\int_0^1(\sqrt x)^2dx=\boxed{\pi/2}\)。
练习与解析
1. 求 \(y=2x\) 与 \(y=x^2\) 围成面积
交点为 \(0,2\)，上方 \(2x\)。\(A=\int_0^2(2x-x^2)dx=\boxed{4/3}\)。
2. 求 \(y=x,0\le x\le1\) 绕 \(x\) 轴体积
\(V=\pi\int_0^1x^2dx=\boxed{\pi/3}\)。注意半径是 \(y=x\)，需平方。
3. 求 \(f(x)=x^2\) 在 \([0,1]\) 的平均值
\(\bar f=\int_0^1x^2dx/(1-0)=\boxed{1/3}\)。
4. 常见题型
方法选择
原讲义中对应的解题模板与判断条件已完整保留在“核心知识点”区。
5. 典型例题
例题使用方式
先独立完成原讲义中的例题，再核对推导和公式条件。
6. 练习题
练习与解析
原有折叠练习、答案与解析均保留在“核心知识点”区。
7. 易错点
8. 公式速查
| 复习顺序 | 使用要求 | 检查项 |
|---|---|---|
| 定义与定理 | 先确认适用条件 | 对象、范围、已知条件 |
| 公式与计算 | 代入前保持符号一致 | 变量、上下标、边界或矩阵维数 |
| 结论 | 写清结果的条件或范围 | 数值、符号和逻辑方向 |
9. 本章总结
必须记忆
定义、公式与定理条件。
必须理解
概念关系与方法选择依据。
必须会做
原讲义中的例题、练习与综合题型。
容易丢分
忽略条件、符号不严谨或跳过关键步骤。