概率论与数理统计
综合题库与考前总复习
按“识别模型 → 核对条件 → 选公式 → 写出事件或统计量 → 检验结果”完成一题。题库每章含 8 道基础题、5 道提高题和 3 道综合题；展开题目即可查看考点、思路、公式选择、步骤、答案与易错点。
九章分层题库
输入章节或关键词筛选。基础题检验定义与公式；提高题训练条件判断；综合题模拟多步骤计算。每道题均给出完整的六项解题信息。
概率论公式速查
| 公式 | 使用条件 | 典型题型 | 易错点 |
|---|---|---|---|
| \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) | 任意两个事件 | 并事件、至少一个发生 | 只有互斥时才可去掉交集项。 |
| \(P(A\mid B)=P(AB)/P(B)\) | \(P(B)>0\) | 已知发生 \(B\) 后求 \(A\) | 条件把样本空间限制为 \(B\)，分母不是 \(P(A)\)。 |
| \(P(AB)=P(A\mid B)P(B)\) | \(P(B)>0\) | 连乘、抽取、路径概率 | 多个事件须按给定顺序继续条件化。 |
| \(P(A)=\sum_iP(B_i)P(A\mid B_i)\) | \(\{B_i\}\) 是互斥完备划分 | 全概率、分来源计算 | 遗漏分支或划分不完备会出错。 |
| \(P(B_i\mid A)=\frac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{\sum_jP(B_j)P(A\mid B_j)}\) | 全概率分母大于 0 | 贝叶斯反推来源 | 分子是目标来源，分母是 \(P(A)\)。 |
| \(P(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}\) | \(n\) 次独立同分布的 0–1 试验 | 恰好 \(k\) 次成功 | 确认“固定次数、相同成功率、相互独立”。 |
| \(P(X=k)=e^{-\lambda}\lambda^k/k!\) | 计数模型，\(k=0,1,\ldots\) | 单位时间/面积内稀有事件 | \(\lambda\) 同时是均值与方差。 |
| \(Z=(X-\mu)/\sigma\sim N(0,1)\) | \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) | 正态概率、分位点 | 分母为标准差 \(\sigma\)，不是方差 \(\sigma^2\)。 |
| \(F(x)=P(X\le x)\)，\(F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt\) | 后一式适用于连续型 | 分布函数与密度互求 | 密度值不是点概率；连续型 \(P(X=a)=0\)。 |
| \(E(X)=\sum x_ip_i\) 或 \(\int xf(x)dx\) | 相应和/积分收敛 | 均值、线性变换 | \(E(X+Y)\) 不要求独立。 |
| \(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\) | 二阶矩存在 | 方差计算 | 方差不线性：\(D(X+Y)\) 一般不能直接相加。 |
| \(\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\) | 二阶矩存在 | 协方差、相关系数 | 独立必不相关；不相关通常不推出独立。 |
| \(\frac{\sum X_i-n\mu}{\sigma\sqrt n}\Rightarrow N(0,1)\) | 独立同分布、方差有限，\(n\) 足够大 | 样本和/均值近似 | 样本均值标准差是 \(\sigma/\sqrt n\)。 |
高频概念对比
| 概念 | 左侧 | 右侧 | 判断提醒 |
|---|---|---|---|
| 互斥 vs 独立 | \(AB=\varnothing\)，不能同时发生 | \(P(AB)=P(A)P(B)\)，发生与否互不改变概率 | 正概率事件互斥时 \(P(AB)=0\)，所以不独立。 |
| 分布函数 vs 密度 | \(F(x)\) 是累计概率 | \(f(x)\) 是单位长度概率的密度 | 连续型区间概率取密度积分，不取 \(f(a)\)。 |
| 期望 vs 方差 | 位置中心，具有线性性 | 波动大小，平方单位 | \(D(aX+b)=a^2D(X)\)。 |
| 独立 vs 不相关 | 联合分布可分解 | 协方差为零 | 前者推出后者；后者未必推出前者。 |
| 二项 vs 泊松 | 固定 \(n\) 次试验的成功次数 | 给定区间内随机到达次数 | \(n\) 大、\(p\) 小、\(np\to\lambda\) 时可用泊松近似二项。 |
| 大数定律 vs 中心极限定理 | 样本均值趋近何处 | 标准化和/均值的分布趋近什么 | 一个是概率收敛，一个是分布近似。 |
| 点估计 vs 区间估计 | 用一个统计量估参数 | 给出带置信度的参数范围 | 置信度针对重复抽样程序，不是参数随机变化。 |
| 第一类 vs 第二类错误 | \(H_0\) 真却拒绝 | \(H_0\) 假却未拒绝 | 显著性水平 \(\alpha\) 控制第一类错误上界。 |
概率论考前总复习
高频定义
事件是样本空间的子集；随机变量是从样本空间到实数的函数；独立要求联合概率可分解；统计量只含样本、不含未知参数。
高频题型
古典概型、条件概率与贝叶斯；分布函数/密度；二项、泊松、正态；联合与边缘分布；期望方差；中心极限定理；估计与检验。
公式选择流程
- 先写随机对象、事件或统计量。
- 出现“已知”先考虑条件概率；多来源先列全概率树。
- 确认分布类型及参数，再代入公式。
- 和/均值且样本量大时检查 CLT 条件。
- 估计或检验先明确总体、参数、方差已知性与单双侧。
考前 10 分钟速查
- 条件概率分母必须为条件事件概率。
- 互斥不等于独立。
- 连续点概率为 0，密度可大于 1。
- 标准化除以标准差。
- \(E(X+Y)\) 总可拆；方差需协方差项。
- 检验结论写“不拒绝”而非“接受”。
最后检查：概率是否在 \([0,1]\) 内；分布律/密度是否归一；方差是否非负；区间端点与标准化方向是否正确；检验结论是否与拒绝域或 \(p\) 值一致。