学习目标
掌握定义、公式与定理条件；能使用原讲义中的真值表、矩阵、图表、分布和统计推断题完成练习。
第 8 章：参数估计
点估计用统计量 \(\hat\theta\) 估计未知参数 \(\theta\)。矩估计令样本矩等于理论矩；最大似然估计选择使当前已观察样本出现可能性最大的参数值。
1. 本章复习目标
2. 知识框架
概念与性质
先厘清定义、条件和性质的联系。
公式与应用
再用题型模板、例题和练习完成方法迁移。
3. 核心知识点
原讲义内容
\[L(\theta)=\prod_{i=1}^nf(x_i;\theta),\qquad\hat\theta_{\mathrm{MLE}}=\arg\max_\theta L(\theta).\]
| 评价 | 含义 |
|---|---|
| 无偏性 | \(E(\hat\theta)=\theta\)，重复抽样平均不系统偏离。 |
| 有效性 | 在同为无偏估计量中，方差较小者更有效。 |
| 一致性 | \(\hat\theta_n\xrightarrow P\theta\)，样本量大时趋近真值。 |
例题 1：10 次 Bernoulli(\(p\)) 试验有 7 次成功，求 p 的矩估计与最大似然估计。
过程：样本均值为 \(7/10\)。理论一阶矩 \(E(X)=p\)，矩估计为 \(0.7\)；似然正比于 \(p^7(1-p)^3\)，令对数似然导数为零也得 \(7/10\)。
答案：\(\boxed{\hat p_{\rm MOM}=\hat p_{\rm MLE}=0.7}\)。
练习 2：指数密度 \(f(x;\lambda)=\lambda e^{-\lambda x},x>0\)，求 \(\lambda\) 的极大似然估计。
思路：先乘出似然，再对对数似然求导。
过程：\(\ell(\lambda)=n\ln\lambda-\lambda\sum x_i\)，故 \(\ell'(\lambda)=n/\lambda-\sum x_i=0\)，且 \(\ell''<0\)。
答案：\(\boxed{\hat\lambda=n/\sum x_i=1/\bar x}\)。
置信区间是随机样本产生的随机区间。95% 置信是指重复使用同一构造规则时约 95% 的区间覆盖真参数，不是参数有 95% 概率落在这次固定区间中。
| 条件 | \(1-\alpha\) 均值置信区间 |
|---|---|
| 正态总体或大样本，\(\sigma\) 已知 | \(\bar X\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}\) |
| 正态总体，\(\sigma\) 未知 | \(\bar X\pm t_{\alpha/2,n-1}\frac{S}{\sqrt n}\) |
| 正态总体方差 | \(\left[\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2,n-1}},\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,n-1}}\right]\)，分位点记号以教材约定为准。 |
练习 3：\(\sigma=8,n=16,\bar x=52\)，求 \(\mu\) 的 95% 置信区间。
思路：方差已知，用 \(z_{0.025}=1.96\)，标准误为 \(8/\sqrt{16}=2\)。
过程：\(52\pm1.96\times2=52\pm3.92\)。
答案：\(\boxed{[48.08,55.92]}\)。
4. 常见题型
方法选择
原讲义中的判断方法、真值表、矩阵、图示、分布或统计计算流程均已完整保留在“核心知识点”区。
5. 典型例题
例题使用方式
先独立作答，再核对原讲义中的关键推导、公式条件与答案。
6. 练习题
练习与解析
原有折叠练习、完整解析与易错提示均保留在“核心知识点”区。
7. 易错点
8. 公式速查
| 复习顺序 | 使用要求 | 检查项 |
|---|---|---|
| 定义与定理 | 确认适用条件 | 对象、范围、已知条件 |
| 公式与计算 | 代入前保持符号一致 | 量词、集合符号、矩阵维数或概率参数 |
| 结论 | 说明结论范围 | 结果、逻辑方向与单位 |
9. 本章总结
必须记忆
核心定义、公式和定理条件。
必须理解
概念间的区别与方法选择依据。
必须会做
原讲义中的例题、练习与综合题型。
容易丢分
忽略前提、符号不严谨、混淆相近概念或跳过关键步骤。