⭐⭐⭐ 重点复习

第 7 章：数理统计基础

本章内容已按统一结构整理。

概率论与数理统计·概念 / 计算 / 证明与综合应用

1. 本章复习目标

掌握定义、公式与定理条件；能使用原讲义中的真值表、矩阵、图表、分布和统计推断题完成练习。

先厘清定义、条件和性质的联系。

再用题型模板、例题和练习完成方法迁移。

总体是研究对象全体，个体是一项观测，\(X_1,\ldots,X_n\) 是容量为 n 的样本。简单随机样本通常指它们独立且与总体同分布。仅由样本构成且不含未知参数的函数称统计量。

\(\bar X\) 描述中心，\(S^2\) 描述离散程度；两者随抽到的样本不同而变化，因此也是随机变量。

\[\bar X=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i,\qquad S^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2.\]

用 \(\bar X\) 代替未知 \(\mu\) 后，离差满足 \(\sum(X_i-\bar X)=0\)，只剩 \(n-1\) 个自由方向；分母用 \(n-1\) 可使 \(S^2\) 无偏，即 \(E(S^2)=\sigma^2\)。

正态总体 \(X_i\sim N(\mu,\sigma^2)\) 的抽样结论	用途
\(\bar X\sim N(\mu,\sigma^2/n)\)，\(\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)\)	均值推断，方差已知时用 Z。
\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)	总体方差区间与检验。
\(\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1)\)	正态总体、方差未知时用 t。
\(\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)\)	两个独立正态总体的方差比较。

练习 1：样本 \(2,4,6\)，求 \(\bar x,S^2\)。

思路：先求均值 4，再按 \(n-1\) 汇总离差平方。

过程：离差平方为 \(4,0,4\)，和为 8，故 \(S^2=8/(3-1)\)。

答案：\(\boxed{\bar x=4,\;S^2=4}\)。

易错点：题目要求无偏样本方差时，分母不能写 n。

原讲义中的判断方法、真值表、矩阵、图示、分布或统计计算流程均已完整保留在“核心知识点”区。

先独立作答，再核对原讲义中的关键推导、公式条件与答案。

原有折叠练习、完整解析与易错提示均保留在“核心知识点”区。

核心定义、公式和定理条件。

概念间的区别与方法选择依据。

原讲义中的例题、练习与综合题型。

忽略前提、符号不严谨、混淆相近概念或跳过关键步骤。