学习目标
掌握定义、公式与定理条件；能使用原讲义中的真值表、矩阵、图表、分布和统计推断题完成练习。
第 6 章：大数定律与中心极限定理
大数定律不是说每次结果会接近期望，也不是说有限样本一定精确等于期望；它说的是当试验次数增大时，样本均值以高概率接近总体均值。
1. 本章复习目标
2. 知识框架
概念与性质
先厘清定义、条件和性质的联系。
公式与应用
再用题型模板、例题和练习完成方法迁移。
3. 核心知识点
原讲义内容
\[\text{Bernoulli 大数定律：若 }S_n\sim B(n,p)，\quad \frac{S_n}{n}\xrightarrow{P}p.\]
\[\text{Chebyshev 大数定律：若 }X_i\text{ 独立同分布，}E(X_i)=\mu,\;D(X_i)=\sigma^2<\infty,\quad\bar X_n\xrightarrow{P}\mu.\]
\[\text{Chebyshev 大数定律：若 }X_i\text{ 独立同分布，}E(X_i)=\mu,\;D(X_i)=\sigma^2<\infty,\quad\bar X_n\xrightarrow{P}\mu.\]
Bernoulli 定律把“成功频率趋近成功概率”形式化；Chebyshev 形式适用于更一般的独立同分布变量。若课程涉及 Khintchine 定律，可记为：独立同分布且 \(E|X_1|<\infty\) 时，\(\bar X_n\xrightarrow{P}E(X_1)\)。
\[\text{Chebyshev 不等式：}\quad P(|X-E(X)|\ge\varepsilon)\le\frac{D(X)}{\varepsilon^2}.\]
\[\text{因此 }\quad P(|\bar X_n-\mu|\ge\varepsilon)\le\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}.\]
\[\text{因此 }\quad P(|\bar X_n-\mu|\ge\varepsilon)\le\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}.\]
例题 1：独立重复试验成功概率为 0.4，进行大量试验后成功频率应接近什么？
思路：成功次数 \(S_n\) 服从二项分布，频率为 \(S_n/n\)。
答案：由 Bernoulli 大数定律，\(\boxed{S_n/n\xrightarrow{P}0.4}\)。这不是“每一次成功概率变为 0.4”，而是长期频率稳定在 0.4 附近。
练习 1：独立同分布变量的方差为 9。用 Chebyshev 不等式给出 \(n=100\) 时 \(P(|\bar X-\mu|<0.6)\) 的下界。
思路：先对补事件估计：\(P(|\bar X-\mu|\ge0.6)\le\frac{9}{100\cdot0.6^2}\)。
过程：右侧为 \(9/36=1/4\)，故目标概率至少为 \(1-1/4\)。
答案：\(\boxed{P(|\bar X-\mu|<0.6)\ge3/4}\)。
易错点：Chebyshev 给出的是保守界，不是实际概率的精确值。
\[\text{若 }X_1,\ldots,X_n\text{ 独立同分布，}E(X_i)=\mu,\;D(X_i)=\sigma^2>0,\quad\frac{\sum_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sigma\sqrt n}\xrightarrow{d}N(0,1).\]
\[\text{等价近似：}\quad \sum_{i=1}^nX_i\approx N(n\mu,n\sigma^2),\qquad\bar X_n\approx N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).\]
\[\text{等价近似：}\quad \sum_{i=1}^nX_i\approx N(n\mu,n\sigma^2),\qquad\bar X_n\approx N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).\]
符号 \(\xrightarrow d\) 表示分布收敛。中心极限定理不把原变量变成正态，而是说明大量独立同分布变量之和或均值，经正确中心化和标准化后近似正态。实际题目应检查独立、同分布、方差有限，并注意样本量是否足够大。
例题 2：某产品重量独立同分布，均值 50 g、标准差 4 g。抽取 64 件，求样本均值落在 \(49\) 到 \(51\) g 的近似概率。
思路：\(\bar X\approx N(50,4^2/64)\)，标准误为 \(4/8=0.5\)。
过程：\(P(49<\bar X<51)=P(-2 答案：\(\boxed{2\Phi(2)-1\approx0.9545}\)。
\[X\sim B(n,p),\quad q=1-p,\quad \frac{X-np}{\sqrt{npq}}\xrightarrow{d}N(0,1).\]
当 \(n\) 较大且 \(np,nq\) 都不太小时，可用正态分布近似二项分布。求整数区间概率时使用连续性修正：\[\boxed{P(a\le X\le b)\approx\Phi\left(\frac{b+0.5-np}{\sqrt{npq}}\right)-\Phi\left(\frac{a-0.5-np}{\sqrt{npq}}\right).}\]
练习 2：\(X\sim B(100,0.5)\)，用正态近似计算 \(P(45\le X\le55)\)。
思路：\(\mu=np=50,\sigma=\sqrt{npq}=5\)，整数端点做连续性修正。
过程：\(P(44.5 答案：\(\boxed{2\Phi(1.1)-1\approx0.7286}\)。易错点：不做连续性修正时近似通常较差；\(\sqrt{npq}\) 才是标准差。
4. 常见题型
方法选择
原讲义中的判断方法、真值表、矩阵、图示、分布或统计计算流程均已完整保留在“核心知识点”区。
5. 典型例题
例题使用方式
先独立作答，再核对原讲义中的关键推导、公式条件与答案。
6. 练习题
练习与解析
原有折叠练习、完整解析与易错提示均保留在“核心知识点”区。
7. 易错点
8. 公式速查
| 复习顺序 | 使用要求 | 检查项 |
|---|---|---|
| 定义与定理 | 确认适用条件 | 对象、范围、已知条件 |
| 公式与计算 | 代入前保持符号一致 | 量词、集合符号、矩阵维数或概率参数 |
| 结论 | 说明结论范围 | 结果、逻辑方向与单位 |
9. 本章总结
必须记忆
核心定义、公式和定理条件。
必须理解
概念间的区别与方法选择依据。
必须会做
原讲义中的例题、练习与综合题型。
容易丢分
忽略前提、符号不严谨、混淆相近概念或跳过关键步骤。