学习目标
掌握定义、公式与定理条件；能使用原讲义中的真值表、矩阵、图表、分布和统计推断题完成练习。
第 5 章：数字特征
本章内容已按统一结构整理。
1. 本章复习目标
2. 知识框架
概念与性质
先厘清定义、条件和性质的联系。
公式与应用
再用题型模板、例题和练习完成方法迁移。
3. 核心知识点
原讲义内容
\[\text{离散：}\quad E(X)=\sum_ix_ip_i;\qquad\text{连续：}\quad E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,dx.\]
\[\text{方差：}\quad D(X)=E[(X-E(X))^2]=E(X^2)-[E(X)]^2.\]
\[\text{方差：}\quad D(X)=E[(X-E(X))^2]=E(X^2)-[E(X)]^2.\]
期望是按概率加权的平均位置；它不要求 X 实际一定取到该数。计算 \(E[g(X)]\) 时可直接对 \(g(x)\) 加权或积分，不必先求 \(g(X)\) 的分布。方差度量围绕均值的平方偏离，故必非负。
| 性质 | 条件与解释 |
|---|---|
| \(E(aX+b)=aE(X)+b\) | 线性变换的平均位置同步线性变换。 |
| \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\) ⭐⭐⭐ | 不要求独立。只要相关期望存在，联合分布的加权和可拆开。 |
| \(D(aX+b)=a^2D(X)\) | 平移不改变离散程度；缩放会把偏差放大 a 倍、平方偏差放大 \(a^2\) 倍。 |
| \(D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)\) | 一般式；独立时协方差为 0，才可直接相加。 |
例题 3：若 \(P(X=0)=1/2,P(X=2)=1/2\)，求 \(E(X)\)、\(D(X)\) 与 \(E(3X-1)\)。
过程：\(E(X)=0\cdot1/2+2\cdot1/2=1\)。\(E(X^2)=0+4\cdot1/2=2\)，故 \(D(X)=2-1^2=1\)。线性性给出 \(E(3X-1)=3E(X)-1\)。
答案：\(\boxed{E(X)=1,\;D(X)=1,\;E(3X-1)=2}\)。
提高练习 4：\(X\sim B(10,0.3)\)，求 \(E(X)\)、\(D(X)\) 与 \(E(2X+5)\)。
思路：二项分布的成功次数可看作 10 个独立 0-1 变量之和；使用 \(E(X)=np,D(X)=np(1-p)\)。
过程：\(E(X)=10\cdot0.3=3\)，\(D(X)=10\cdot0.3\cdot0.7=2.1\)。\(E(2X+5)=2\cdot3+5\)。
答案：\(\boxed{3,\;2.1,\;11}\)。
易错点：方差不是 \(np^2\)，而是 \(np(1-p)\)。
\[\operatorname{Cov}(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y).\]
\[\rho_{X,Y}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}},\qquad -1\le\rho_{X,Y}\le1.\]
\[\rho_{X,Y}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}},\qquad -1\le\rho_{X,Y}\le1.\]
协方差反映 X、Y 是否呈线性同向或反向变化：正值倾向同向，负值倾向反向，零表示无线性相关。相关系数把协方差标准化，只有 \(D(X)>0,D(Y)>0\) 时才定义。
独立 \(\Rightarrow\operatorname{Cov}(X,Y)=0\)，因为独立时 \(E(XY)=E(X)E(Y)\)。反过来通常不成立：令 X 均匀取 \(-1,0,1\)，令 \(Y=X^2\)。由对称性 \(E(X)=E(X^3)=0\)，故协方差为 0；但 \(P(X=0,Y=0)=1/3\ne P(X=0)P(Y=0)=1/9\)，二者仍不独立。
基础练习 5：若 \(D(X)=4,D(Y)=9,\operatorname{Cov}(X,Y)=3\)，求相关系数与 \(D(X+Y)\)。
思路：直接代定义与方差和公式。
过程：\(\rho=\frac3{\sqrt{4\cdot9}}=\frac12\)。\(D(X+Y)=4+9+2\cdot3\)。
答案：\(\boxed{\rho=1/2,\quad D(X+Y)=19}\)。
综合练习 6：对例题 1 的联合分布表，求 \(E(X)\)、\(E(Y)\)、\(E(XY)\)、协方差。
思路：利用边缘分布求前两项；因 X、Y 只取 0、1，\(XY=1\) 仅当 \((1,1)\)。
过程：\(E(X)=P(X=1)=0.7\)，\(E(Y)=P(Y=1)=0.6\)，\(E(XY)=P(1,1)=0.4\)。协方差 \(=0.4-0.7\cdot0.6\)。
答案：\(\boxed{E(X)=0.7,\;E(Y)=0.6,\;E(XY)=0.4,\;\operatorname{Cov}(X,Y)=-0.02}\)。
易错点：\(E(XY)\) 不能一般写成 \(E(X)E(Y)\)；只有独立时才可。
综合练习 7：若 \(Y=2X+1\)，且 \(D(X)>0\)，求 \(\rho_{X,Y}\)。
思路：利用协方差与方差的线性变换性质。
过程：\(\operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{Cov}(X,2X+1)=2D(X)\)，\(D(Y)=4D(X)\)。代入相关系数得 \(\frac{2D(X)}{\sqrt{D(X)\cdot4D(X)}}\)。
答案：\(\boxed{\rho_{X,Y}=1}\)。这是完全正线性关系。
4. 常见题型
方法选择
原讲义中的判断方法、真值表、矩阵、图示、分布或统计计算流程均已完整保留在“核心知识点”区。
5. 典型例题
例题使用方式
先独立作答，再核对原讲义中的关键推导、公式条件与答案。
6. 练习题
练习与解析
原有折叠练习、完整解析与易错提示均保留在“核心知识点”区。
7. 易错点
8. 公式速查
| 复习顺序 | 使用要求 | 检查项 |
|---|---|---|
| 定义与定理 | 确认适用条件 | 对象、范围、已知条件 |
| 公式与计算 | 代入前保持符号一致 | 量词、集合符号、矩阵维数或概率参数 |
| 结论 | 说明结论范围 | 结果、逻辑方向与单位 |
9. 本章总结
必须记忆
核心定义、公式和定理条件。
必须理解
概念间的区别与方法选择依据。
必须会做
原讲义中的例题、练习与综合题型。
容易丢分
忽略前提、符号不严谨、混淆相近概念或跳过关键步骤。