学习目标
掌握定义、公式与定理条件；能使用原讲义中的真值表、矩阵、图表、分布和统计推断题完成练习。
第 4 章：多维随机变量
二维随机变量 \((X,Y)\) 把每个样本点映为一个有序实数对。联合分布保留两者同时取值的信息；只看 X 或只看 Y 时得到边缘分布。
1. 本章复习目标
2. 知识框架
概念与性质
先厘清定义、条件和性质的联系。
公式与应用
再用题型模板、例题和练习完成方法迁移。
3. 核心知识点
原讲义内容
1. 联合分布与边缘分布
\[F_{X,Y}(x,y)=P(X\le x,Y\le y).\]
\[\text{连续情形：}\quad f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X,Y}(x,y)\,dy,\qquad f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X,Y}(x,y)\,dx.\]
\[\text{连续情形：}\quad f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X,Y}(x,y)\,dy,\qquad f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X,Y}(x,y)\,dx.\]
离散情形中，联合分布律为 \(p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j)\)，边缘分布按行或列求和：\(P(X=x_i)=\sum_jp_{ij}\)，\(P(Y=y_j)=\sum_ip_{ij}\)。连续情形把“对另一变量求和”改为积分；积分范围必须与联合密度的非零区域相交。
| 条件分布 | 条件与含义 |
|---|---|
| 离散：\(P(X=x_i\mid Y=y_j)=\frac{p_{ij}}{P(Y=y_j)}\) | 要求 \(P(Y=y_j)>0\)。固定 \(Y=y_j\) 后，对该列概率重新归一化。 |
| 连续：\(f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}\) | 要求 \(f_Y(y)>0\)。它是给定 y 后 x 的条件密度，不是某单点条件概率。 |
例题 1：联合分布表如下，求边缘分布及 \(P(X=1\mid Y=1)\)。
| \(X\backslash Y\) | 0 | 1 | 行和 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 |
| 1 | 0.3 | 0.4 | 0.7 |
| 列和 | 0.4 | 0.6 | 1 |
过程：行和、列和即边缘分布。条件概率为 \(\frac{P(X=1,Y=1)}{P(Y=1)}=\frac{0.4}{0.6}\)。
答案：\(\boxed{P(X=0)=0.3,P(X=1)=0.7;\;P(Y=0)=0.4,P(Y=1)=0.6;\;P(X=1\mid Y=1)=2/3}\)。
2. 独立性
\[X,Y\text{ 独立}\quad\Longleftrightarrow\quad F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)F_Y(y).\]
\[\text{连续型常用判据：}\quad f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\quad(\text{在全部平面上}).\]
\[\text{连续型常用判据：}\quad f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\quad(\text{在全部平面上}).\]
联合密度等于两个边缘密度的乘积，表示知道 Y 的取值不会改变 X 的分布，反之亦然。对离散变量，检验每个格子是否满足 \(p_{ij}=P(X=x_i)P(Y=y_j)\)。只在少数点相等不足以断定独立。
联合密度的支持区域会限制积分上下限；若支持区域不是矩形，即使函数形式能分解，也通常不独立。
基础练习 1：对上表判断 X、Y 是否独立。
思路：任取一个格子比较联合概率与边缘概率乘积；若有一处不等即可否定独立。
过程：\(P(X=0,Y=0)=0.1\)，而 \(P(X=0)P(Y=0)=0.3\times0.4=0.12\)。
答案：\(\boxed{X,Y\text{ 不独立}}\)。
易错点：不能只看行和、列和是否都为 1；那只是联合分布表的归一化条件。
提高练习 2：\(f_{X,Y}(x,y)=2\)，定义在 \(0<y<x<1\) 上，其余为 0。求 \(f_X(x)\)、\(f_Y(y)\)，并判断独立性。
思路：固定 x 时 \(y\) 的范围为 \(0<y<x\)；固定 y 时 \(x\) 的范围为 \(y<x<1\)。
过程：\(f_X(x)=\int_0^x2dy=2x\;(0 答案：\(\boxed{f_X(x)=2x,\;f_Y(y)=2(1-y),\;X,Y\text{ 不独立}}\)。
\[\text{离散一般式：}\quad P(Z=z)=\sum_xP(X=x,Y=z-x).\]
\[\text{若 X,Y 独立：}\quad P(Z=z)=\sum_xP(X=x)P(Y=z-x).\]
\[\text{连续独立时：}\quad f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\,dx.\]
\[\text{若 X,Y 独立：}\quad P(Z=z)=\sum_xP(X=x)P(Y=z-x).\]
\[\text{连续独立时：}\quad f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\,dx.\]
连续公式称为卷积。虽写作 \((-\infty,+\infty)\) 的积分，但实际只在 \(x\) 与 \(z-x\) 同时落入各自支持区间处有贡献；先画或列出不等式确定有效积分范围，最不易出错。
例题 2：X、Y 独立且均服从 \(U(0,1)\)，求 \(Z=X+Y\) 的密度。
思路：两密度均为 1，须同时满足 \(0 过程：当 \(0 答案：\(\boxed{f_Z(z)=\begin{cases}z,&0
基础练习 3：独立掷两枚公平骰子，\(X,Y\) 为点数，求 \(P(X+Y=7)\)。
思路：离散卷积：列出所有 \(x+(7-x)\) 的可行组合。
过程：有 \((1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\) 六种，每种概率为 \(1/36\)。
答案：\(\boxed{1/6}\)。
易错点：不能把“和的取值 2 到12”视作等可能。
4. 常见题型
方法选择
原讲义中的判断方法、真值表、矩阵、图示、分布或统计计算流程均已完整保留在“核心知识点”区。
5. 典型例题
例题使用方式
先独立作答，再核对原讲义中的关键推导、公式条件与答案。
6. 练习题
练习与解析
原有折叠练习、完整解析与易错提示均保留在“核心知识点”区。
7. 易错点
8. 公式速查
| 复习顺序 | 使用要求 | 检查项 |
|---|---|---|
| 定义与定理 | 确认适用条件 | 对象、范围、已知条件 |
| 公式与计算 | 代入前保持符号一致 | 量词、集合符号、矩阵维数或概率参数 |
| 结论 | 说明结论范围 | 结果、逻辑方向与单位 |
9. 本章总结
必须记忆
核心定义、公式和定理条件。
必须理解
概念间的区别与方法选择依据。
必须会做
原讲义中的例题、练习与综合题型。
容易丢分
忽略前提、符号不严谨、混淆相近概念或跳过关键步骤。