学习目标
掌握定义、公式与定理条件；能使用原讲义中的真值表、矩阵、图表、分布和统计推断题完成练习。
第 3 章：随机变量及其分布
随机变量是定义在样本空间上的实值函数 \(X:\Omega\to\mathbb R\)，不是“随机的字母”。例如掷两枚骰子，把样本点 \((i,j)\) 映为点数和 \(X(i,j)=i+j\)，不同样本点可映到同一个数值。
1. 本章复习目标
2. 知识框架
概念与性质
先厘清定义、条件和性质的联系。
公式与应用
再用题型模板、例题和练习完成方法迁移。
3. 核心知识点
原讲义内容
1. 概念与判断
随机变量是定义在样本空间上的实值函数 \(X:\Omega\to\mathbb R\)，不是“随机的字母”。例如掷两枚骰子，把样本点 \((i,j)\) 映为点数和 \(X(i,j)=i+j\)，不同样本点可映到同一个数值。
离散型随机变量 ⭐⭐⭐
取值为有限个或可列个数，如成功次数、到首次成功的试验次数。用分布律列出每个可能值及其概率。
连续型随机变量 ⭐⭐⭐
取值由密度函数描述，如等待时间、长度。区间概率由曲线下面积给出，单点概率为 0。
\[P(X=x_i)=p_i,\qquad p_i\ge0,\qquad \sum_i p_i=1.\]
上式是离散型分布律成立的两项基本条件。若题目给出含常数的概率表，先用“总和为 1”求常数，再检查每项非负，最后才计算事件概率。
2. 分布函数
\[F(x)=P(X\le x).\]
分布函数统一描述离散与连续随机变量。它记录阈值 \(x\) 左侧累计了多少概率，因此满足：
| 性质 | 含义 / 使用方式 |
|---|---|
| \(0\le F(x)\le1\)，单调不减 | 阈值变大时集合 \(\{X\le x\}\) 只会扩大，不会丢失已累计的概率。 |
| 右连续 ⭐⭐⭐ | \(F(x)=\lim_{t\downarrow x}F(t)\)。由事件 \(\{X\le t\}\) 随 \(t\downarrow x\) 递减到 \(\{X\le x\}\) 得到。 |
| \(\lim_{x\to-\infty}F(x)=0,\;\lim_{x\to+\infty}F(x)=1\) | 极小阈值不含任何概率，极大阈值最终包含全部样本点。 |
\(P(a| 适用于所有随机变量；端点开闭要与 \(F\) 的“\(\le\)”定义对应。 | |
例题 1：\(X\) 的分布律为 \(P(X=0)=\frac14,P(X=1)=\frac12,P(X=2)=\frac14\)，求 \(F(x)\)。
思路：按取值点从小到大累计；离散型分布函数在取值点处跳跃。
过程：\(x<0\) 时为 0；\(0\le x<1\) 时为 \(1/4\)；\(1\le x<2\) 时为 \(3/4\)；\(x\ge2\) 时为 1。
答案：\(\boxed{F(x)=\begin{cases}0,&x<0\\1/4,&0\le x<1\\3/4,&1\le x<2\\1,&x\ge2.\end{cases}}\)
基础练习 1：若 \(P(X=-1)=c,P(X=0)=2c,P(X=1)=3c\)，求 \(c\) 与 \(P(X\ge0)\)。
思路：分布律概率和为 1。
过程：\(c+2c+3c=1\)，得 \(c=1/6\)。\(P(X\ge0)=2c+3c=5/6\)。
答案：\(\boxed{c=1/6,\;P(X\ge0)=5/6}\)。
易错点：求完常数还应确认 \(c\ge0\)，否则不能构成分布律。
| 分布 | 模型与分布律 | 识别特征 |
|---|---|---|
| 0-1 分布 | \(X\in\{0,1\}\)，\(P(X=1)=p,P(X=0)=1-p\)。 | 一次试验只有成功/失败两种结果。 |
| 二项分布 \(X\sim B(n,p)\) ⭐⭐⭐ | \[P(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,\ldots,n.\] | 固定 n 次、每次两结果、成功概率恒为 p、各次相互独立；X 数成功次数。 |
| 泊松分布 \(X\sim P(\lambda)\) ⭐⭐⭐ | \[P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},\quad k=0,1,\ldots.\] | 单位时间/区域内稀有事件次数，\(\lambda\) 是平均发生次数。二项中 \(n\) 大、\(p\) 小、\(np\approx\lambda\) 时常近似。 |
| 几何分布 ⭐⭐ | \[P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\quad k=1,2,\ldots.\] | 独立重复试验中“首次成功”出现在第 k 次；本页采用从 1 开始计数的约定。 |
例题 2：独立抛硬币 5 次，正面概率 \(p=0.6\)，求恰有 3 次正面与至少 1 次正面的概率。
思路：成功次数 \(X\sim B(5,0.6)\)。恰有 3 次直接代二项公式；至少 1 次用反事件“0 次成功”。
过程：\(P(X=3)=\binom53(0.6)^3(0.4)^2=0.3456\)。\(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-(0.4)^5\)。
答案：\(\boxed{P(X=3)=0.3456,\quad P(X\ge1)=0.98976}\)。
提高练习 2：某呼叫中心平均每分钟接到 2 个电话，服从泊松分布。求 1 分钟内恰好 3 个电话的概率。
思路：题中给的是单位时间平均次数，取 \(\lambda=2\)，而非把 2 当作成功概率。
过程：\(P(X=3)=\frac{2^3e^{-2}}{3!}=\frac43e^{-2}\)。
答案：\(\boxed{\frac43e^{-2}\approx0.1804}\)。
易错点：泊松分布的 k 从 0 开始，且分母是 \(k!\)。
提高练习 3：一次成功率为 0.2，独立重复直到首次成功。求首次成功在第 4 次的概率。
思路：前 3 次失败、第 4 次成功，是几何分布。
过程：\((1-0.2)^3\cdot0.2=0.8^3\cdot0.2\)。
答案：\(\boxed{0.1024}\)。
\[f(x)\ge0,\qquad\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=1,\qquad P(a
密度不是概率。\(f(x)\) 的数值可以大于 1，它表示单位长度上的概率集中程度；真正的概率是区间下的面积。连续型随机变量对任意常数 \(a\) 均有 \(P(X=a)=\int_a^a f(x)\,dx=0\)，所以区间端点的开闭通常不影响概率。
阴影面积而非曲线在某一点的高度，才是 \(P(a
\[F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt,\qquad f(x)=F'(x)\quad(\text{在可导处}).\]
| 分布 | 密度 / 分布函数 | 使用提示 |
|---|---|---|
| 均匀 \(X\sim U(a,b)\) ⭐⭐ | \(f(x)=\frac1{b-a}\;(a| 随机点在区间内均匀出现；区间外密度为 0。 | |
| 指数分布 ⭐⭐ | \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x>0\)，\(F(x)=1-e^{-\lambda x}\;(x>0)\)。 | 常用于等待时间；只在 \(x>0\) 取正密度。 |
| 正态 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) ⭐⭐⭐ | \[f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}.\] | 先标准化后查标准正态表：\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\)。 |
例题 3：\(X\sim U(0,4)\)，求 \(P(1
思路：均匀分布的密度恒为 \(1/4\)，概率为区间长度比例。
过程：\(\int_1^3\frac14\,dx=\frac{3-1}{4}\)。
答案：\(\boxed{\frac12}\)。
基础练习 4：\(f(x)=cx^2,\;0<x<1\)（其余为 0）是密度函数。求 c 与 \(P(X<1/2)\)。
思路：先令全区间面积为 1 求 c，再对目标区间积分。
过程：\(\int_0^1cx^2dx=c/3=1\)，故 \(c=3\)。\(P(X<1/2)=\int_0^{1/2}3x^2dx=[x^3]_0^{1/2}\)。
答案：\(\boxed{c=3,\quad P(X<1/2)=1/8}\)。
易错点：密度函数的 c 由积分归一化确定，不是把 \(f(1)\) 设为 1。
提高练习 5：\(X\sim N(100,10^2)\)，求 \(P(90<X<110)\)。
思路：先标准化：90、110 分别对应 \(-1,1\)。
过程：\(P(90 答案：\(\boxed{2\Phi(1)-1\approx0.6826}\)。易错点：标准差是 \(\sigma=10\)，不是方差 \(100\)。
| 情形 | 方法 |
|---|---|
| 离散变量变换 | 对每个 \(y\)，把所有满足 \(g(x_i)=y\) 的原取值概率相加：\(P(Y=y)=\sum_{g(x_i)=y}P(X=x_i)\)。不同原值可能合并到同一新值。 |
| 单调连续变换 | 若 \(g\) 可逆且单调，\(f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|\)，并先写出 y 的取值范围。 |
| 非单调变换 | 优先用分布函数法；一个 y 可能有多个原像，不能只取一个反函数分支。 |
例题 4：\(X\sim U(0,1)\)，\(Y=X^2\)，求 Y 的分布。
思路：\(x^2\) 在 \((0,1)\) 单调递增，或直接用分布函数法。
过程：当 \(0 答案：\(\boxed{f_Y(y)=\frac1{2\sqrt y},\;0
综合练习 6：\(X\) 取 \(-1,0,1\)，概率分别为 \(1/4,1/2,1/4\)。令 \(Y=X^2\)，求 Y 的分布律。
思路：平方会把 \(-1\) 与 1 合并为同一个值 1。
过程：\(P(Y=0)=P(X=0)=1/2\)；\(P(Y=1)=P(X=-1)+P(X=1)=1/4+1/4\)。
答案：\(\boxed{P(Y=0)=1/2,\quad P(Y=1)=1/2}\)。
易错点：不能只取 \(X=1\) 的概率，必须合并所有原像。
综合练习 7：已知 \(F(x)=0\;(x<0),\;x^2\;(0\le x<1),\;1\;(x\ge1)\)。求密度与 \(P(1/2<X\le1)\)。
思路：在连续段对分布函数求导；概率可直接用分布函数差。
过程：\(f(x)=2x\;(0 答案：\(\boxed{f(x)=2x\;(0
4. 常见题型
方法选择
原讲义中的判断方法、真值表、矩阵、图示、分布或统计计算流程均已完整保留在“核心知识点”区。
5. 典型例题
例题使用方式
先独立作答，再核对原讲义中的关键推导、公式条件与答案。
6. 练习题
练习与解析
原有折叠练习、完整解析与易错提示均保留在“核心知识点”区。
7. 易错点
8. 公式速查
| 复习顺序 | 使用要求 | 检查项 |
|---|---|---|
| 定义与定理 | 确认适用条件 | 对象、范围、已知条件 |
| 公式与计算 | 代入前保持符号一致 | 量词、集合符号、矩阵维数或概率参数 |
| 结论 | 说明结论范围 | 结果、逻辑方向与单位 |
9. 本章总结
必须记忆
核心定义、公式和定理条件。
必须理解
概念间的区别与方法选择依据。
必须会做
原讲义中的例题、练习与综合题型。
容易丢分
忽略前提、符号不严谨、混淆相近概念或跳过关键步骤。