学习目标
掌握定义、公式与定理条件；能使用原讲义中的真值表、矩阵、图表、分布和统计推断题完成练习。
第 2 章：条件概率与独立性
本章内容已按统一结构整理。
1. 本章复习目标
2. 知识框架
概念与性质
先厘清定义、条件和性质的联系。
公式与应用
再用题型模板、例题和练习完成方法迁移。
3. 核心知识点
原讲义内容
1. 条件概率：样本空间缩小
\[P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0.\]
已知 \(B\) 已发生后，原来不在 \(B\) 内的样本点不再可能；新的样本空间是 \(B\)。在 \(B\) 内真正满足 A 的部分是 \(A\cap B\)，所以把原概率质量 \(P(A\cap B)\) 重新除以 \(P(B)\) 进行归一化。条件概率不是把 \(P(B)\) “约掉”，而是在已知信息下重新计算比例。
\[P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)=P(B\mid A)P(A).\]
\[P(A_1\cap\cdots\cap A_n)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)\cdots P(A_n\mid A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}).\]
\[P(A_1\cap\cdots\cap A_n)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)\cdots P(A_n\mid A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}).\]
例题 2：盒中有 3 个红球、2 个白球，不放回连抽两球。已知第一球为红，第二球为红的概率是多少？
思路：“第一球为红”是条件 \(B\)，条件发生后盒中剩 2 红 2 白，共 4 球。
过程：\(P(\text{二红}\mid\text{一红})=\frac24\)。也可由 \(P(\text{两红})/P(\text{一红})=(\frac35\cdot\frac24)/\frac35\) 验证。
答案：\(\boxed{\frac12}\)。
2. 全概率公式与贝叶斯公式
若 \(B_1,\ldots,B_n\) 两两互斥、并为 \(\Omega\)，且 \(P(B_i)>0\)，它们构成一个划分。事件 A 发生必且只会经由其中一个 \(B_i\) 发生，因此 \(A\) 被互斥地拆成 \(A\cap B_i\)：
\[P(A)=\sum_{i=1}^nP(A\cap B_i)=\sum_{i=1}^nP(B_i)P(A\mid B_i).\]
其中 \(P(B_i)\) 是看到证据 A 之前的先验概率，\(P(A\mid B_i)\) 是在原因 \(B_i\) 下看到证据 A 的似然；观察到 A 后，
\[P(B_i\mid A)=\frac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(B_j)P(A\mid B_j)},\qquad P(A)>0.\]
分子是“\(B_i\) 且 A”的概率；分母由全概率公式给出 A 的总概率。贝叶斯公式做的是在证据 A 已知时，对不同来源 \(B_i\) 的概率重新归一化，而不是把条件方向随意调换。
例题 3：甲、乙两台机器产量占 \(60\%\)、\(40\%\)，不良率分别为 \(1\%\)、\(3\%\)。任取一件产品发现不良，求来自乙机的概率。
思路：机器来源构成划分，先算“不良”的全概率，再用贝叶斯反推来源。
过程：\(P(D)=0.6\cdot0.01+0.4\cdot0.03=0.018\)。于是 \(P(B\mid D)=\frac{0.4\cdot0.03}{0.018}\)。
答案：\(\boxed{\frac23}\)。虽然乙机产量较低，但不良率更高。
\[A,B\text{ 独立}\quad\Longleftrightarrow\quad P(A\cap B)=P(A)P(B).\]
当 \(P(B)>0\) 时，上式等价于 \(P(A\mid B)=P(A)\)：得知 B 是否发生，不改变 A 的概率，才称独立。多个事件“相互独立”要求任意子集的交集概率等于对应概率之积；两两独立不足以保证相互独立。
| 关系 | 数学含义 | 能否同时成立 |
|---|---|---|
| 互斥 | \(A\cap B=\varnothing\)，不能同时发生。 | 若 \(P(A)>0,P(B)>0\)，则 \(P(A\cap B)=0\ne P(A)P(B)\)，所以不独立。 |
| 独立 | \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)，发生与否不改变对方概率。 | 可同时发生；一般交集概率大于 0。 |
独立性判断模板：
- 先算 \(P(A)\)、\(P(B)\)、\(P(A\cap B)\)。
- 比较 \(P(A\cap B)\) 与 \(P(A)P(B)\)，不要仅凭题意猜测。
- 若题目说“至少一次”，优先转为补事件；若试验相互独立，补事件也可相乘。
基础练习 3：掷一枚公平骰子，A 为“点数为偶数”，B 为“点数大于 3”。A 与 B 独立吗？
思路：枚举或按集合计算。\(A=\{2,4,6\},B=\{4,5,6\},A\cap B=\{4,6\}\)。
过程：\(P(A)=P(B)=\frac12,\;P(A\cap B)=\frac26=\frac13\)，而 \(P(A)P(B)=\frac14\)。
答案：\(\boxed{\text{不独立}}\)。
易错点：两个事件都有两个共同结果并不能说明独立，必须比较概率乘积。
提高练习 4：独立重复试验中单次成功概率为 \(p\)，进行 \(n\) 次，求至少成功一次的概率。
思路：“至少一次”直接分类复杂，改求“零次成功”的补事件。
过程：每次失败概率为 \(1-p\)，独立时 n 次全失败为 \((1-p)^n\)。
答案：\(\boxed{1-(1-p)^n}\)。恰好成功 \(k\) 次则为 \(\boxed{\binom nkp^k(1-p)^{n-k}}\)。
综合练习 5：甲命中率 \(0.8\)，乙命中率 \(0.7\)，二人独立射击一次。求“恰有一人命中”的概率。
思路：恰有一人命中由两个互斥情形组成：甲中乙不中，或甲不中乙中。
过程：\(0.8(1-0.7)+(1-0.8)0.7=0.24+0.14\)。
答案：\(\boxed{0.38}\)。
易错点：不能写成 \(0.8+0.7\)；那会把同时命中的情形错误纳入。
4. 常见题型
方法选择
原讲义中的判断方法、真值表、矩阵、图示、分布或统计计算流程均已完整保留在“核心知识点”区。
5. 典型例题
例题使用方式
先独立作答，再核对原讲义中的关键推导、公式条件与答案。
6. 练习题
练习与解析
原有折叠练习、完整解析与易错提示均保留在“核心知识点”区。
7. 易错点
8. 公式速查
| 复习顺序 | 使用要求 | 检查项 |
|---|---|---|
| 定义与定理 | 确认适用条件 | 对象、范围、已知条件 |
| 公式与计算 | 代入前保持符号一致 | 量词、集合符号、矩阵维数或概率参数 |
| 结论 | 说明结论范围 | 结果、逻辑方向与单位 |
9. 本章总结
必须记忆
核心定义、公式和定理条件。
必须理解
概念间的区别与方法选择依据。
必须会做
原讲义中的例题、练习与综合题型。
容易丢分
忽略前提、符号不严谨、混淆相近概念或跳过关键步骤。