学习目标
掌握定义、公式与定理条件；能使用原讲义中的真值表、矩阵、图表、分布和统计推断题完成练习。
第 1 章：随机事件与概率
随机试验是在相同条件下可重复进行、结果不确定但所有可能结果可列或可描述的试验。单个可能结果是样本点 \(\omega\)，样本点全体构成样本空间 \(\Omega\)；事件就是 \(\Omega\) 的子集。
1. 本章复习目标
2. 知识框架
概念与性质
先厘清定义、条件和性质的联系。
公式与应用
再用题型模板、例题和练习完成方法迁移。
3. 核心知识点
原讲义内容
1. 复习目标与知识框架
随机试验是在相同条件下可重复进行、结果不确定但所有可能结果可列或可描述的试验。单个可能结果是样本点 \(\omega\)，样本点全体构成样本空间 \(\Omega\)；事件就是 \(\Omega\) 的子集。
事件类型 ⭐⭐
必然事件是 \(\Omega\)，不可能事件是 \(\varnothing\)，一般事件 \(A\subseteq\Omega\)。事件是结果集合，不是“一个概率数”。
先辨关系 ⭐⭐⭐
先判断包含、互斥或一般相交，再选补集、加法公式或容斥。符号 \(\overline A\) 的补集始终相对于 \(\Omega\)。
2. 事件运算与集合图
\[A\cup B:\text{至少一个发生};\quad A\cap B:\text{同时发生};\quad A-B=A\cap\overline B:\text{A发生而B不发生};\quad\overline A:\text{A不发生}.\]
重叠区表示 \(A\cap B\)；两个圆的并表示 \(A\cup B\)。圆外但仍在矩形内的区域属于 \(\overline{A\cup B}\)。
| 性质 / 公式 | 条件与理解 |
|---|---|
| \(P(\Omega)=1,\;P(\varnothing)=0\) | 概率公理给出总样本空间的概率为 1；不可能事件没有概率质量。 |
| \(P(\overline A)=1-P(A)\) | \(A\) 与 \(\overline A\) 互斥且并为 \(\Omega\)。特别适合“至少发生一次”。 |
| \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) | 一般加法公式；交集被前两项重复计算一次，故需减回一次。 |
| 若 \(A\cap B=\varnothing\)，\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\) | 仅在互斥时可直接相加，不能擅自省略交集项。 |
3. 概率公理、古典概型与几何概型
概率 \(P\) 满足非负性 \(P(A)\ge0\)、规范性 \(P(\Omega)=1\)，以及两两互斥事件可列可加性。古典概型还要求样本点有限且等可能，此时
\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{\text{有利基本结果数}}{\text{全部等可能基本结果数}}.\]
几何概型把“等可能”转化为长度、面积或体积的比例：\(P(A)=\frac{\text{有利区域测度}}{\text{总区域测度}}\)。使用前必须确认随机落点在相应区域内均匀分布。
例题 1：掷两枚公平骰子，求点数和为 8 的概率。
识别：有序结果 \((i,j)\) 共 \(6\times6=36\) 个，等可能；不能只把“和”当六种等可能结果。
过程：有利结果为 \((2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\)，共 5 个。
答案：\(\boxed{P(\text{和为8})=\frac5{36}}\)。
基础练习 1：一副 52 张牌中任抽 1 张，A 为“抽到红桃”，B 为“抽到人头牌”。求 \(P(A\cup B)\)。
思路：红桃 13 张，人头牌（J、Q、K）9 张；红桃人头牌有 3 张，事件相交。
过程：\(P(A\cup B)=\frac{13}{52}+\frac9{52}-\frac3{52}\)。
答案：\(\boxed{\frac{19}{52}}\)。
易错点：红桃 J、Q、K 同时被两个事件计入，必须减去一次。
提高练习 2：从 1 到 100 任取一个整数，求至少能被 2 或 5 整除的概率。
思路：“至少一个”用并集；同时被 2、5 整除就是被 10 整除。
过程：2 的倍数 50 个，5 的倍数 20 个，10 的倍数 10 个。有利数 \(50+20-10=60\)。
答案：\(\boxed{\frac{60}{100}=\frac35}\)。
4. 常见题型
方法选择
原讲义中的判断方法、真值表、矩阵、图示、分布或统计计算流程均已完整保留在“核心知识点”区。
5. 典型例题
例题使用方式
先独立作答，再核对原讲义中的关键推导、公式条件与答案。
6. 练习题
练习与解析
原有折叠练习、完整解析与易错提示均保留在“核心知识点”区。
7. 易错点
8. 公式速查
| 复习顺序 | 使用要求 | 检查项 |
|---|---|---|
| 定义与定理 | 确认适用条件 | 对象、范围、已知条件 |
| 公式与计算 | 代入前保持符号一致 | 量词、集合符号、矩阵维数或概率参数 |
| 结论 | 说明结论范围 | 结果、逻辑方向与单位 |
9. 本章总结
必须记忆
核心定义、公式和定理条件。
必须理解
概念间的区别与方法选择依据。
必须会做
原讲义中的例题、练习与综合题型。
容易丢分
忽略前提、符号不严谨、混淆相近概念或跳过关键步骤。