学习目标
掌握定义、公式与定理条件；能使用原讲义中的真值表、矩阵、图表、分布和统计推断题完成练习。
第 10 章：布尔代数
布尔代数处理取值 \(0,1\) 的量。通常 \(+\) 表示“或”、相邻或 \(\cdot\) 表示“与”、上标 \( '\) 表示“非”。命题联结词和这里的运算在二值语义下对应；真值表、范式的完整基础见阶段 2：命题逻辑，本节只从“化简”角度使用它们。
1. 本章复习目标
2. 知识框架
概念与性质
先厘清定义、条件和性质的联系。
公式与应用
再用题型模板、例题和练习完成方法迁移。
3. 核心知识点
原讲义内容
1. 定义、对偶与基本恒等式
布尔代数常写作 \(\langle B,+,\cdot,',0,1\rangle\)，其中 \(B=\{0,1\}\)。
\(x+0=x,\;x\cdot1=x,\;x+x'=1,\;x\cdot x'=0\)。
\(x+0=x,\;x\cdot1=x,\;x+x'=1,\;x\cdot x'=0\)。
| 规律 | 公式 | 使用提示 |
|---|---|---|
| 幂等、吸收 ⭐⭐⭐ | \(x+x=x,\;xx=x;\quad x+xy=x,\;x(x+y)=x\) | 看到“同一变量 + 与它相乘的项”优先尝试吸收。 |
| 分配 ⭐⭐⭐ | \(x(y+z)=xy+xz;\quad x+yz=(x+y)(x+z)\) | 第二个是布尔代数特有的对偶分配式。 |
| 德摩根 ⭐⭐⭐ | \((x+y)'=x'y',\quad(xy)'=x'+y'\) | 反演时既要逐变量取反，也要交换 \(+\) 与 \(\cdot\)。 |
| 对偶原理 ⭐⭐ | 式中互换 \(+\leftrightarrow\cdot,\;0\leftrightarrow1\) | 不对变量加撇号；由真恒等式得到另一真恒等式。 |
例 4：化简 \(F=x+xy+x'y\)。
先用吸收律 \(x+xy=x\)，得 \(F=x+x'y\)。再用 \(a+a'b=a+b\)，令 \(a=x,b=y\)，得 \(\boxed{F=x+y}\)。这一步说明“某项含 \(x\)，另一项含 \(x'\)”常可合并，但必须具有 \(x+x'y\) 的准确结构。
对偶式
若 \(F=x+yz+0\)，其对偶为 \(\boxed{F^d=x(y+z)\cdot1=x(y+z)}\)。仅交换运算符与常量。
反演式（补函数）
若 \(F=x+yz\)，则 \(F'=(x+yz)'=x'(y'+z')\)。先给整体取反，再按德摩根律逐层下推。
2. 布尔函数、标准型与最小/最大项
有 \(n\) 个变量的布尔函数是 \(f:\{0,1\}^n\to\{0,1\}\)。含全部变量、并且每个变量只出现一次（可带撇）的乘积项称最小项 \(m_i\)；相应的和项称最大项 \(M_i\)。函数为 \(1\) 的行取最小项之和，得主析取范式；函数为 \(0\) 的行取最大项之积，得主合取范式。
以变量顺序 \(x,y,z\) 编号：\(m_i\) 把二进制 \(i\) 中的 \(1\) 写成原变量、\(0\) 写成补变量。
例如 \(i=5=(101)_2\)：\(m_5=xy'z\)，而 \(M_5=x'+y+z'\)。
例如 \(i=5=(101)_2\)：\(m_5=xy'z\)，而 \(M_5=x'+y+z'\)。
注意：最大项的规则与最小项相反：二进制位为 \(0\) 时写原变量，为 \(1\) 时写补变量，才能使该最大项只在该行取 \(0\)。
3. 化简的三种方法
代数法
适合式子短、可见吸收/分配/德摩根结构。优点是计算快；缺点是难保证已最简。
真值表
适合变量少且需确认两式等价或要求标准型。逐行可靠，但变量多时行数 \(2^n\) 增长快。
卡诺图
适合 \(2\sim4\) 个变量（少量课程扩展到 5）。最直观看出相邻最小项可合并。
4. 卡诺图：Gray 码、圈组与无关项
行列使用 Gray 码，使相邻格只改变一个变量。卡诺图中圈 \(1,2,4,8,\ldots\) 格，是因为每翻倍一次，就有一个变量在圈内同时出现 \(x,x'\)，可用 \(x+x'=1\) 消去；圈越大，消去的变量越多，留下的文字越少。
yz 00011110x=01100x=11100
上图是三变量图的一组 \(4\) 格：\(y=0\) 固定，\(x,z\) 都变化，故该组对应 \(y'\)。允许边界相邻、四角相邻和重叠圈；每个值为 \(1\) 的格至少被一个圈覆盖。无关项可当作 \(0\) 或 \(1\)，只在能扩大圈、减少文字时使用，不能让其破坏原来为 \(0\) 的约束。
练习 3：用代数法化简 \(F=xy+x'y+xy'\)。
思路：先合并前两项中共同的 \(y\)，再检查是否存在 \(x+x'\) 的结构。
过程：\(xy+x'y=y(x+x')=y\)。因此 \(F=y+xy'\)。用 \(a+bc=(a+b)(a+c)\)，得 \(F=(y+x)(y+y')=(x+y)\cdot1\)。
答案：\(\boxed{F=x+y}\)。
易错点：不能把 \(xy+x'y\) 误化为 \(x+x'\)；应先提取共同因子 \(y\)。
练习 4：求 \(F=x+yz\) 的对偶式与反演式。
思路：对偶只替换运算和常量；反演则先对整个表达式取补并用德摩根律。
过程：对偶：把外层 \(+\) 换成 \(\cdot\)，内层 \(\cdot\) 换成 \(+\)，得 \(x(y+z)\)。反演：\(F'=(x+yz)'=x'(yz)'=x'(y'+z')\)。
答案：\(\boxed{F^d=x(y+z),\quad F'=x'(y'+z')}\)。
练习 5：\(F(x,y,z)=\Sigma m(0,1,4,5)\)，用卡诺图化简。
思路：按 \(xyz\) 的二进制编号填入 \(m_0,m_1,m_4,m_5\)。它们在三变量图中构成一个 \(4\) 格圈。
过程：这四项分别为 \(x'y'z',x'y'z,xy'z',xy'z\)。圈内 \(x,z\) 同时变化，只有 \(y=0\) 不变，故保留 \(y'\)。
答案：\(\boxed{F=y'}\)。
易错点：列的顺序必须是 Gray 码 \(00,01,11,10\)，不能按普通二进制顺序画图。
4. 常见题型
方法选择
原讲义中的判断方法、真值表、矩阵、图示、分布或统计计算流程均已完整保留在“核心知识点”区。
5. 典型例题
例题使用方式
先独立作答，再核对原讲义中的关键推导、公式条件与答案。
6. 练习题
练习与解析
原有折叠练习、完整解析与易错提示均保留在“核心知识点”区。
7. 易错点
8. 公式速查
| 复习顺序 | 使用要求 | 检查项 |
|---|---|---|
| 定义与定理 | 确认适用条件 | 对象、范围、已知条件 |
| 公式与计算 | 代入前保持符号一致 | 量词、集合符号、矩阵维数或概率参数 |
| 结论 | 说明结论范围 | 结果、逻辑方向与单位 |
9. 本章总结
必须记忆
核心定义、公式和定理条件。
必须理解
概念间的区别与方法选择依据。
必须会做
原讲义中的例题、练习与综合题型。
容易丢分
忽略前提、符号不严谨、混淆相近概念或跳过关键步骤。