学习目标
掌握定义、公式与定理条件；能使用原讲义中的真值表、矩阵、图表、分布和统计推断题完成练习。
第 5 章：函数
函数 \(f:A\to B\) 要求定义域中每个元素恰有一个像；值域是实际像的集合 \(f(A)\)，不一定等于陪域 \(B\)。
1. 本章复习目标
2. 知识框架
概念与性质
先厘清定义、条件和性质的联系。
公式与应用
再用题型模板、例题和练习完成方法迁移。
3. 核心知识点
原讲义内容
单射
\(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2\)。不同输入不合流；有限图示中每个陪域点至多一条入边。
满射与双射
满射：\(f(A)=B\)，每个陪域点至少被击中一次。双射同时单、满，因此存在逆函数。
a→1b→2c→3（一一对应：双射）
\((g\circ f)(x)=g(f(x));\qquad f^{-1}\text{ 存在}\Longleftrightarrow f\text{ 是双射}\)
判断模板：先检查“每个定义域元素是否唯一出箭头”（函数）；再查不同输入是否撞到同一输出（单射）；最后查陪域是否有未被命中的点（满射）。有限集时，\(|A|=|B|\) 下单射与满射互相推出。
练习 6：\(f:\mathbb R\to\mathbb R,f(x)=x^2\) 是单射/满射吗？
\(f(1)=f(-1)\) 而 \(1\ne-1\)，故非单射；负数无原像，故非满射。因此 \(\boxed{\text{非双射}}\)，没有定义在整个 \(\mathbb R\) 到 \(\mathbb R\) 的逆函数。
练习 7：\(f:\mathbb R\to(0,\infty),f(x)=e^x\) 是否双射？
严格递增所以单射；任取 \(y>0\)，令 \(x=\ln y\) 即 \(e^x=y\)，故满射。因此 \(\boxed{\text{双射}}\)，逆为 \(f^{-1}(y)=\ln y\)。
4. 常见题型
方法选择
原讲义中的判断方法、真值表、矩阵、图示、分布或统计计算流程均已完整保留在“核心知识点”区。
5. 典型例题
例题使用方式
先独立作答，再核对原讲义中的关键推导、公式条件与答案。
6. 练习题
练习与解析
原有折叠练习、完整解析与易错提示均保留在“核心知识点”区。
7. 易错点
8. 公式速查
| 复习顺序 | 使用要求 | 检查项 |
|---|---|---|
| 定义与定理 | 确认适用条件 | 对象、范围、已知条件 |
| 公式与计算 | 代入前保持符号一致 | 量词、集合符号、矩阵维数或概率参数 |
| 结论 | 说明结论范围 | 结果、逻辑方向与单位 |
9. 本章总结
必须记忆
核心定义、公式和定理条件。
必须理解
概念间的区别与方法选择依据。
必须会做
原讲义中的例题、练习与综合题型。
容易丢分
忽略前提、符号不严谨、混淆相近概念或跳过关键步骤。