学习目标
掌握定义、公式与定理条件；能使用原讲义中的真值表、矩阵、图表、分布和统计推断题完成练习。
第 4 章：二元关系
\(A\) 上二元关系是 \(A\times A\) 的子集。可用有序对集合、0-1 矩阵或有向图表示；三种表示是同一对象的不同视角。
1. 本章复习目标
2. 知识框架
概念与性质
先厘清定义、条件和性质的联系。
公式与应用
再用题型模板、例题和练习完成方法迁移。
3. 核心知识点
原讲义内容
\(R^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in R\},\quad R_1\circ R_2=\{(x,z):\exists y(xR_2y\land yR_1z)\}\)
复合顺序：\(R_1\circ R_2\) 先走 \(R_2\)，再走 \(R_1\)，和函数复合一致；从右向左读。
| 性质 | 集合定义 | 矩阵/图判定 |
|---|---|---|
| 自反 | \(I_A\subseteq R\) | 主对角线全 1 / 每点有环 |
| 反自反 | \((x,x)\notin R\) | 主对角线全 0 |
| 对称 | \(R=R^{-1}\) | \(M_R=M_R^T\) / 边成对反向 |
| 反对称 | \(xRy,yRx\Rightarrow x=y\) | 不同点间不能双向都有边 |
| 传递 | \(xRy,yRz\Rightarrow xRz\) | 长度 2 路径必须有捷径 |
\(r(R)=R\cup I_A,\quad s(R)=R\cup R^{-1},\quad t(R)=\bigcup_{i=1}^{\infty}R^i\)
闭包公式的原因是“最小地补齐所缺性质”：补 \(I_A\) 才保证每点自环；补反向边才保证对称；\(R^i\) 收集长度 \(i\) 的路径，所有路径的并正好补足传递所需的边。
等价关系：自反、对称、传递。它把集合分成互不相交的等价类；反过来，一个划分定义“同块即相关”的等价关系。偏序则是自反、反对称、传递；Hasse 图省去自环与传递边，边向上表示覆盖。
练习 3：\(A=\{1,2,3\}\)，\(R=\{(1,2),(2,3)\}\)，求传递闭包
\(R^2=\{(1,3)\}\)，继续复合无新边。因此 \(\boxed{t(R)=\{(1,2),(2,3),(1,3)\}}\)。
练习 4：整除关系 \(\mid\) 在正整数集上是何种关系？
任意 \(a\mid a\)，自反；\(a\mid b,b\mid a\) 推 \(a=b\)，反对称；\(a\mid b,b\mid c\) 推 \(a\mid c\)，传递。所以是 \(\boxed{\text{偏序}}\)，不是一般的对称关系。
练习 5：在 \(\{1,2,3,6\}\) 的整除偏序画 Hasse 图应保留哪些覆盖边？
保留 \(1-2,1-3,2-6,3-6\)。不画 \(1-6\)，因为它由 \(1<2<6\) 或 \(1<3<6\) 的传递性已表示。极小元为 \(1\)，最大元为 \(6\)。
4. 常见题型
方法选择
原讲义中的判断方法、真值表、矩阵、图示、分布或统计计算流程均已完整保留在“核心知识点”区。
5. 典型例题
例题使用方式
先独立作答，再核对原讲义中的关键推导、公式条件与答案。
6. 练习题
练习与解析
原有折叠练习、完整解析与易错提示均保留在“核心知识点”区。
7. 易错点
8. 公式速查
| 复习顺序 | 使用要求 | 检查项 |
|---|---|---|
| 定义与定理 | 确认适用条件 | 对象、范围、已知条件 |
| 公式与计算 | 代入前保持符号一致 | 量词、集合符号、矩阵维数或概率参数 |
| 结论 | 说明结论范围 | 结果、逻辑方向与单位 |
9. 本章总结
必须记忆
核心定义、公式和定理条件。
必须理解
概念间的区别与方法选择依据。
必须会做
原讲义中的例题、练习与综合题型。
容易丢分
忽略前提、符号不严谨、混淆相近概念或跳过关键步骤。