学习目标
掌握定义、公式与定理条件；能使用原讲义中的真值表、矩阵、图表、分布和统计推断题完成练习。
第 3 章：集合
集合由元素组成。\(x\in A\) 表示对象 \(x\) 是 \(A\) 的元素；\(A\subseteq B\) 表示 \(A\) 的每个元素都属于 \(B\)，两者类型不同。
1. 本章复习目标
2. 知识框架
概念与性质
先厘清定义、条件和性质的联系。
公式与应用
再用题型模板、例题和练习完成方法迁移。
3. 核心知识点
原讲义内容
基本对象
空集 \(\varnothing\) 无元素；幂集 \(\mathcal P(A)\) 是 \(A\) 所有子集的集合；全集 \(U\) 决定补集 \(\overline A=U-A\)。
两句易混淆
\(\varnothing\subseteq A\) 永真，因为空集没有反例元素；\(\varnothing\in A\) 则要看空集是否被 \(A\) 作为一个元素明确收录。
\(A\triangle B=(A-B)\cup(B-A),\quad A-(A-B)=A\cap B\)
| 恒等式 | 元素法解释 |
|---|---|
| 交换、结合、幂等律 | 对任意 \(x\)，左右两侧给出同一“是否属于”的真假条件 |
| 德摩根律 \(\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B\) | \(x\notin A\cap B\) 等价于 \(x\notin A\) 或 \(x\notin B\) |
| 分配律 | \(x\in A\cap(B\cup C)\) 等价于“在 \(A\) 且在 \(B\) 或 \(C\)” |
例题：证明 \(A-(A-B)=A\cap B\)。
运算法：\(A-(A-B)=A\cap\overline{(A\cap\overline B)}=A\cap(\overline A\cup B)=(A\cap\overline A)\cup(A\cap B)=A\cap B\)。
元素法：\(x\) 在左边 \(\Leftrightarrow x\in A\) 且 \(x\notin A-B\) \(\Leftrightarrow x\in A\) 且 \(x\in B\)。
运算法：\(A-(A-B)=A\cap\overline{(A\cap\overline B)}=A\cap(\overline A\cup B)=(A\cap\overline A)\cup(A\cap B)=A\cap B\)。
元素法：\(x\) 在左边 \(\Leftrightarrow x\in A\) 且 \(x\notin A-B\) \(\Leftrightarrow x\in A\) 且 \(x\in B\)。
对称差与笛卡尔积
对称差满足交换、结合律，\(A\triangle\varnothing=A,\ A\triangle A=\varnothing\)。笛卡尔积 \(A\times B=\{(a,b):a\in A,b\in B\}\) 的元素是有序对：通常 \((a,b)\ne(b,a)\)。
常用成立式：\(A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C)\)，差集也对右侧分配。一般 \(A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C)\) 成立；但 \((A\cup B)\times(C\cup D)\) 会多出 \(A\times D,B\times C\)，不能只写两项。
练习 1：\(A=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\)，判断 \(\varnothing\in A\) 与 \(\varnothing\subseteq A\)
\(\varnothing\) 被列为元素，故 \(\varnothing\in A\) 真；空集总是任意集合子集，故 \(\varnothing\subseteq A\) 也真。两命题理由不同。
练习 2：若 \(A=\{1,2\},B=\{2,3\}\)，求 \(A\triangle B\) 和 \(A\times B\)
\(A-B=\{1\},B-A=\{3\}\)，故 \(\boxed{A\triangle B=\{1,3\}}\)。\(\boxed{A\times B=\{(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)\}}\)。
4. 常见题型
方法选择
原讲义中的判断方法、真值表、矩阵、图示、分布或统计计算流程均已完整保留在“核心知识点”区。
5. 典型例题
例题使用方式
先独立作答，再核对原讲义中的关键推导、公式条件与答案。
6. 练习题
练习与解析
原有折叠练习、完整解析与易错提示均保留在“核心知识点”区。
7. 易错点
8. 公式速查
| 复习顺序 | 使用要求 | 检查项 |
|---|---|---|
| 定义与定理 | 确认适用条件 | 对象、范围、已知条件 |
| 公式与计算 | 代入前保持符号一致 | 量词、集合符号、矩阵维数或概率参数 |
| 结论 | 说明结论范围 | 结果、逻辑方向与单位 |
9. 本章总结
必须记忆
核心定义、公式和定理条件。
必须理解
概念间的区别与方法选择依据。
必须会做
原讲义中的例题、练习与综合题型。
容易丢分
忽略前提、符号不严谨、混淆相近概念或跳过关键步骤。