学习目标
掌握定义、公式与定理条件；能使用原讲义中的真值表、矩阵、图表、分布和统计推断题完成练习。
第 2 章：谓词逻辑
谓词 \(P(x)\) 含变量，给定个体域和变量值后才有真值；量词把变量约束为对域内全部或某些个体的断言。
1. 本章复习目标
2. 知识框架
概念与性质
先厘清定义、条件和性质的联系。
公式与应用
再用题型模板、例题和练习完成方法迁移。
3. 核心知识点
原讲义内容
基本对象
个体域：讨论范围；\(P(x)\)：谓词；\(\forall x\)：对所有；\(\exists x\)：至少存在一个。
变量与辖域
落在量词辖域内的同名变量是约束变量；不在任何同名量词辖域内的是自由变量。
\(\neg\forall x\,P(x)\equiv\exists x\,\neg P(x),\qquad\neg\exists x\,P(x)\equiv\forall x\,\neg P(x)\)
直观：“并非所有人都及格”只需找到“至少一人未及格”；“不存在人未及格”等价于“所有人都及格”。否定量词时必须翻转量词并否定谓词。
量词顺序：\(\forall x\exists y\,R(x,y)\) 表示每个 \(x\) 都可有自己的 \(y\)；\(\exists y\forall x\,R(x,y)\) 表示同一个 \(y\) 对所有 \(x\) 都适用。后者通常强得多。例如“每个学生有一本书”不推出“有一本书属于每个学生”。
自然语言符号化：先写清个体域和谓词含义；“所有”用 \(\forall\)，“存在/有一个”用 \(\exists\)；“仅当”注意方向；最后读回中文检查量词顺序与否定位置。
练习 4（基础）：写出“并非每个实数都有平方根是实数”的正确否定结构
若 \(P(x)\) 表示“\(x\) 有实平方根”，则“并非每个 \(x\) 有此性质”为 \(\boxed{\exists x\,\neg P(x)}\)。在实数域可取 \(x=-1\) 作为见证。易错：不能写成 \(\forall x\,\neg P(x)\)。
练习 5（提高）：在 \(\mathbb R\) 上，符号化“每个实数都有一个相反数”
令 \(R(x,y)\) 表示 \(x+y=0\)。同一个 \(y\) 不必服务所有 \(x\)，故 \(\boxed{\forall x\exists y\,(x+y=0)}\)，而不是 \(\exists y\forall x\,(x+y=0)\)。
练习 6：找出 \(\forall x(P(x,y)\to\exists yQ(x,y))\) 中的自由变量
最外层 \(\forall x\) 约束所有 \(x\)；右侧 \(\exists y\) 只约束 \(Q(x,y)\) 内的 \(y\)，而 \(P(x,y)\) 的 \(y\) 不在其辖域内。因此 \(\boxed{P\text{ 中的 }y\text{ 是自由变量}}\)。同一字母在不同辖域可同时有自由、约束出现。
4. 常见题型
方法选择
原讲义中的判断方法、真值表、矩阵、图示、分布或统计计算流程均已完整保留在“核心知识点”区。
5. 典型例题
例题使用方式
先独立作答，再核对原讲义中的关键推导、公式条件与答案。
6. 练习题
练习与解析
原有折叠练习、完整解析与易错提示均保留在“核心知识点”区。
7. 易错点
8. 公式速查
| 复习顺序 | 使用要求 | 检查项 |
|---|---|---|
| 定义与定理 | 确认适用条件 | 对象、范围、已知条件 |
| 公式与计算 | 代入前保持符号一致 | 量词、集合符号、矩阵维数或概率参数 |
| 结论 | 说明结论范围 | 结果、逻辑方向与单位 |
9. 本章总结
必须记忆
核心定义、公式和定理条件。
必须理解
概念间的区别与方法选择依据。
必须会做
原讲义中的例题、练习与综合题型。
容易丢分
忽略前提、符号不严谨、混淆相近概念或跳过关键步骤。