学习目标
掌握定义、公式与定理条件；能使用原讲义中的真值表、矩阵、图表、分布和统计推断题完成练习。
第 1 章：命题逻辑
命题是有唯一真值的陈述句；原子命题不可再拆，复合命题由联结词连接。问句、命令和真值随对象变化的句子本身不是命题。
1. 本章复习目标
2. 知识框架
概念与性质
先厘清定义、条件和性质的联系。
公式与应用
再用题型模板、例题和练习完成方法迁移。
3. 核心知识点
原讲义内容
五个联结词
\(\neg P\) 否定；\(P\land Q\) 合取；\(P\lor Q\) 析取；\(P\to Q\) 蕴含；\(P\leftrightarrow Q\) 等价。
公式分类
永真式任意赋值真；永假式任意赋值假；可满足式至少有一个赋值为真。
真值表与核心等价式
| \(P\) | \(Q\) | \(P\land Q\) | \(P\lor Q\) | \(P\to Q\) | \(P\leftrightarrow Q\) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | F |
| F | T | F | T | T | F |
| F | F | F | F | T | T |
\(P\to Q\equiv\neg P\lor Q,\quad\neg(P\land Q)\equiv\neg P\lor\neg Q,\quad\neg(P\lor Q)\equiv\neg P\land\neg Q\)
为什么蕴含在前件假时为真？“若 \(P\) 则 \(Q\)”只禁止 \(P\) 真而 \(Q\) 假的反例；前件假时没有违反承诺。等价演算中先消去 \(\to,\leftrightarrow\)，再用德摩根律和分配律最稳定。
题型：判断等价/永真式。变量少时列真值表；变量多时做等值演算。两公式各行真值完全相同才逻辑等价；某公式最后化为 \(T\) 才是永真式。
例题：证明 \(\neg(P\to Q)\equiv P\land\neg Q\)。
\(\neg(P\to Q)\equiv\neg(\neg P\lor Q)\equiv\neg\neg P\land\neg Q\equiv\boxed{P\land\neg Q}\)。每一步分别使用蕴含等价、德摩根律、双重否定律。
\(\neg(P\to Q)\equiv\neg(\neg P\lor Q)\equiv\neg\neg P\land\neg Q\equiv\boxed{P\land\neg Q}\)。每一步分别使用蕴含等价、德摩根律、双重否定律。
对偶、范式与主范式
对偶式在不含否定的表达式中交换 \(\land\leftrightarrow\lor\)、\(T\leftrightarrow F\)。析取范式（DNF）是若干合取项的析取；合取范式（CNF）是若干析取项的合取。主析取范式取真值表中为真的行：每一行写一个最小项；主合取范式取为假的行：每一行写一个最大项。
m_i:\text{该行变量为 T 取本身、为 F 取否定；}\qquad M_i:\text{该行变量为 F 取本身、为 T 取否定}
练习 1（基础）：求 \((P\to Q)\land P\) 的等价简式
思路：先去蕴含。
\((\neg P\lor Q)\land P=(\neg P\land P)\lor(Q\land P)=F\lor(P\land Q)=\boxed{P\land Q}\)。
易错：分配后不能遗漏 \(\neg P\land P=F\)。
练习 2（提高）：写出 \(P\to Q\) 的主析取范式
仅 \(P=T,Q=F\) 时为假，真值行为 \(TT,FT,FF\)。对应最小项为 \(P\land Q,\ \neg P\land Q,\ \neg P\land\neg Q\)。
\(\boxed{(P\land Q)\lor(\neg P\land Q)\lor(\neg P\land\neg Q)}\)。最小项编号若按 \(PQ\) 二进制从 \(00\) 起，为 \(\Sigma m(0,1,3)\)。
卡诺图将相邻最小项排成 Gray 码顺序，使相邻格只改变一个变量。2 变量顺序为 \(0,1\)；3/4 变量的两位轴顺序为 \(00,01,11,10\)，不是普通二进制 \(00,01,10,11\)。
\(\text{圈组大小必须为 }1,2,4,8,\ldots;\quad\text{圈越大，组内变化的变量越多，被消掉的变量越多。}\)
| 规则 | 原因 / 操作 |
|---|---|
| 边界相邻、四角相邻 | 卡诺图的行列首尾相接，Gray 码只差一位 |
| 允许重叠圈 | 一个 1 可服务于多个更大圈，获得更简表达式 |
| 无关项 \(d\) | 可按 0 或 1 使用；只在能扩大圈时纳入 |
例题：三变量函数在最小项 \(m(1,3,5,7)\) 为 1。二进制分别为 \(001,011,101,111\)，四格共同不变的只有 \(C=1\)，故 \(\boxed{F=C}\)。这说明四格圈消掉了 \(A,B\)。
练习 3（综合）：四变量图中一整行 \(AB=01\) 的四格为 1，化简结果？
该行固定 \(A=0,B=1\)，列变量 \(C,D\) 在四格中全变化，故均被消掉，\(\boxed{\neg A\land B}\)。边界两列仍相邻，不能因位置分开而拆成小圈。
易错：圈不能含 3、5、6 个格；优先最大圈、最少圈；主析取范式先来自真值表，不必先画卡诺图。
4. 常见题型
方法选择
原讲义中的判断方法、真值表、矩阵、图示、分布或统计计算流程均已完整保留在“核心知识点”区。
5. 典型例题
例题使用方式
先独立作答，再核对原讲义中的关键推导、公式条件与答案。
6. 练习题
练习与解析
原有折叠练习、完整解析与易错提示均保留在“核心知识点”区。
7. 易错点
8. 公式速查
| 复习顺序 | 使用要求 | 检查项 |
|---|---|---|
| 定义与定理 | 确认适用条件 | 对象、范围、已知条件 |
| 公式与计算 | 代入前保持符号一致 | 量词、集合符号、矩阵维数或概率参数 |
| 结论 | 说明结论范围 | 结果、逻辑方向与单位 |
9. 本章总结
必须记忆
核心定义、公式和定理条件。
必须理解
概念间的区别与方法选择依据。
必须会做
原讲义中的例题、练习与综合题型。
容易丢分
忽略前提、符号不严谨、混淆相近概念或跳过关键步骤。