⭐⭐⭐ 高频重点

第 6 章：定积分

定积分描述区间上的累积量。复习时以“确认被积函数与区间 → 选择计算方法 → 正确处理端点或极限”为主线，避免只套原函数而忽略条件。

高等数学·填空题 / 计算题 / 综合题

1. 本章复习目标

理解

理解定积分的累积意义、可积条件、积分的线性性、区间可加性与保序性。

掌握

掌握牛顿—莱布尼茨公式、定积分换元法、分部积分法，以及无穷区间与无界函数的反常积分。

会判断

能识别题目是直接求积分、需要换元、需要分部积分，还是必须先改写为极限。

考试重点

端点代入、换元后上下限、分部积分边界项，以及反常积分的收敛性是高频失分处。

2. 知识框架

概念与性质

定积分定义 → 可积性 → 线性性、区间可加性、保序性、估值。

计算主线

原函数 → 牛顿—莱布尼茨 → 换元法 / 分部积分法 → 对称性。

特殊积分

无穷区间或函数无界时，先截断，再对截断积分取极限。

应用衔接

本章的积分计算是面积、体积、弧长与微分方程等后续问题的基础。

3. 核心知识点

定积分与牛顿—莱布尼茨公式

若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，且 \(F'(x)=f(x)\)，则定积分可由任一原函数的端点差计算：

\[\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=[F(x)]_a^b.\]

符号 \([F(x)]_a^b\) 的含义是“上限代入减下限代入”，不是把 \(a,b\) 同时代入后相加。定积分的值是一个数，不再含积分变量。

基本性质与对称性

\[\int_a^b(\alpha f+\beta g)\,dx=\alpha\int_a^b f\,dx+\beta\int_a^b g\,dx,\qquad \int_a^b f\,dx=\int_a^c f\,dx+\int_c^b f\,dx.\]
\[\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx,\qquad \int_{-a}^{a}f(x)\,dx=\begin{cases}0,&f\text{ 为奇函数},\\2\int_0^a f(x)\,dx,&f\text{ 为偶函数}.\end{cases}\]

定积分换元法与分部积分法

\[\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(u)\,du.\]

换元后有两种规范写法：要么同时把上下限改为 \(u\) 的上下限并全程使用 \(u\)；要么换回 \(x\) 后再代入原上下限。二者不能混用。

\[\int_a^b u\,dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,du.\]

分部积分的边界项 \([uv]_a^b\) 必须保留。含 \(\ln x\)、反三角函数、或“多项式 × 指数/三角函数”的乘积时，常考虑分部积分。

反常积分

积分区间无穷或被积函数在区间内无界时，普通定积分定义不直接适用，必须按端点或瑕点拆成极限。

\[\int_1^{+\infty}f(x)\,dx=\lim_{R\to+\infty}\int_1^R f(x)\,dx,\qquad \int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)\,dx.\]

相应极限存在且有限时称积分收敛；极限不存在或为无穷大时称发散。常用判别基准为：

\[\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}\,dx\text{ 当且仅当 }p>1\text{ 收敛},\qquad \int_0^1\frac{1}{x^p}\,dx\text{ 当且仅当 }p<1\text{ 收敛}.\]

4. 常见题型

题型一：直接计算与区间拆分

  1. 先检查被积函数在区间内是否连续或可积。
  2. 求一个原函数 \(F\)。
  3. 严格按 \(F(b)-F(a)\) 计算；分段函数按分段点拆开。

题型二：定积分换元

  1. 识别复合结构 \(f(\varphi(x))\varphi'(x)\)。
  2. 令 \(u=\varphi(x)\)，计算 \(du\) 并同步改变上下限。
  3. 用新变量完成积分；不再把旧变量的端点直接代入。

题型三：分部积分

  1. 选择 \(u\) 与 \(dv\)：通常令求导会简化的部分为 \(u\)。
  2. 写出 \(du\)、\(v\)，再代入 \([uv]_a^b-\int_a^b v\,du\)。
  3. 先计算边界项，再处理剩余积分。

题型四：反常积分收敛性

  1. 找出无穷端点或无界点；若在内部无界，先在该点处分开。
  2. 写成截断积分的极限。
  3. 计算极限或与 \(p\)-积分比较，最后明确写“收敛”或“发散”。

5. 典型例题

例题 1：牛顿—莱布尼茨公式

题目：计算 \(\int_0^1(3x^2+2x+1)\,dx\)。

思路：被积函数是多项式，在闭区间上连续，直接寻找原函数。

解答：取 \(F(x)=x^3+x^2+x\)，所以 \(\int_0^1(3x^2+2x+1)\,dx=[x^3+x^2+x]_0^1=3-0\)。

答案：\(\boxed{3}\)。

例题 2：定积分换元

题目：计算 \(\int_0^1 2xe^{x^2}\,dx\)。

思路：\(e^{x^2}\) 的内层为 \(x^2\)，其导数 \(2x\) 恰好存在，使用换元。

解答：令 \(u=x^2\)，则 \(du=2x\,dx\)。当 \(x=0\) 时 \(u=0\)，当 \(x=1\) 时 \(u=1\)。故积分为 \(\int_0^1e^u\,du=[e^u]_0^1\)。

答案：\(\boxed{e-1}\)。

例题 3：无穷区间上的反常积分

题目：判断并计算 \(\int_1^{+\infty}\frac1{x^2}\,dx\)。

思路：上限为无穷，不能直接代入；先截断到 \(R\)，再令 \(R\to+\infty\)。

解答：\(\int_1^{+\infty}x^{-2}\,dx=\lim_{R\to+\infty}[-x^{-1}]_1^R=\lim_{R\to+\infty}(1-\frac1R)\)。

答案：\(\boxed{1}\)，且积分收敛。

6. 练习题

基础题

1. 计算 \(\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx\)。

思路：直接使用原函数 \(-\cos x\)。

步骤：\([-\cos x]_0^{\pi/2}=-\cos\frac{\pi}{2}-(-\cos0)=0+1\)。

答案：\(\boxed{1}\)。

易错点：端点相减时不可把下限项的负号遗漏。

2. 利用奇偶性计算 \(\int_{-2}^{2}(x^3+x^2)\,dx\)。

思路：\(x^3\) 为奇函数，\(x^2\) 为偶函数，区间关于原点对称。

步骤：\(\int_{-2}^{2}x^3dx=0\)，\(\int_{-2}^{2}x^2dx=2\int_0^2x^2dx=2\cdot\frac83\)。

答案：\(\boxed{\frac{16}{3}}\)。

易错点：奇偶性不能在非对称区间上直接使用。

提高题

3. 计算 \(\int_0^1x\ln x\,dx\)。

思路：乘积中含 \(\ln x\)，取 \(u=\ln x,dv=x\,dx\)；下端点处须按极限处理。

步骤：先在 \([\varepsilon,1]\) 上分部积分：\(\int_\varepsilon^1x\ln xdx=[\frac{x^2}{2}\ln x]_\varepsilon^1-\frac12\int_\varepsilon^1x\,dx\)。当 \(\varepsilon\to0^+\) 时 \(\varepsilon^2\ln\varepsilon\to0\)，其余部分趋于 \(-\frac14\)。

答案：\(\boxed{-\frac14}\)。

易错点：\(\ln x\) 在 0 处无定义，不能直接把 0 代入边界项。

综合题

4. 判断 \(\int_1^{+\infty}\frac1x\,dx\) 是否收敛。

思路：将无穷上限改写为极限，并比较 \(p\)-积分条件。

步骤：\(\int_1^{+\infty}\frac1xdx=\lim_{R\to+\infty}\int_1^R\frac1xdx=\lim_{R\to+\infty}\ln R\)。该极限为 \(+\infty\)。

答案：\(\boxed{\text{发散}}\)。

易错点：\(1/x\) 的原函数存在，不代表无穷区间上的积分必收敛。

7. 易错点

8. 公式速查

公式使用条件典型题型易错点
\(\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\)\(F'=f\)，通常 \(f\) 在区间连续直接计算上限减下限。
\(\int_a^bf(\varphi(x))\varphi'(x)dx=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(u)du\)复合结构与内层导数匹配换元积分变量与上下限须同步。
\(\int_a^bu\,dv=[uv]_a^b-\int_a^bv\,du\)可选取 \(u,v\) 且相关积分存在乘积积分不要漏边界项。
\(\int_{-a}^af(x)dx=0\)\(f\) 为奇函数，区间对称对称区间积分先核对奇偶性和区间。
\(\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx\)\(f\) 为偶函数，区间对称对称区间积分系数 2 不可漏掉。
\(\int_1^\infty x^{-p}dx\)\(p>1\) 收敛反常积分判别端点不同，条件不同。

9. 本章总结

必须记忆

牛顿—莱布尼茨公式、换元法、分部积分法、奇偶性公式与 \(p\)-积分收敛条件。

必须理解

定积分是累积量；换元必须同步变量与端点；反常积分本质上是极限问题。

必须会做

直接积分、换元、分部、利用对称性、判断并计算反常积分。

容易丢分

端点代入符号、换元后的上下限、分部积分边界项，以及没有把反常积分改写为极限。