⭐⭐⭐ 重点复习

第 10 章：重积分

二重积分是平面区域上的累积。计算成功的关键是画区域、写清边界，再选择更简单的积分次序或坐标系。

高等数学·概念 / 计算 / 证明与综合应用

1. 本章复习目标

掌握定义、公式与定理的适用条件；能从题目结构选择方法，并通过原讲义例题与练习检验掌握程度。

由基本定义出发，梳理性质、公式和定理条件。

结合解题模板、例题和练习完成从理解到计算的迁移。

先定 \(x\) 型或 \(y\) 型区域，再写二次积分。

先画图，再改变内外层边界；不要只交换符号。

圆、扇形、\(x^2+y^2\) 结构优先考虑，面积元为 \(rdrd\theta\)。

\(\iint_Df(x,y)dA=\int_a^b\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx;\quad dA=r\,dr\,d\theta\)

例题

在 \(D=[0,1]\times[0,2]\) 上，\(\iint_D(x+y)dA=\int_0^1\int_0^2(x+y)dydx=\boxed3\)。

练习：计算单位圆 \(x^2+y^2\le1\) 上的 \(\iint_D(x^2+y^2)dA\)

用极坐标：\(\int_0^{2\pi}\int_0^1r^2\cdot r\,drd\theta=2\pi\cdot\frac14=\boxed{\pi/2}\)。易错：面积元多一个 \(r\)。

练习：求 \(0\le y\le x\le1\) 上的 \(\iint_D1dA\)

积分即面积：\(\int_0^1\int_0^xdy dx=\int_0^1x dx=\boxed{1/2}\)。

原讲义中对应的解题模板与判断条件已完整保留在“核心知识点”区。

先独立完成原讲义中的例题，再核对推导和公式条件。

原有折叠练习、答案与解析均保留在“核心知识点”区。

定义、公式与定理条件。

概念关系与方法选择依据。

原讲义中的例题、练习与综合题型。

忽略条件、符号不严谨或跳过关键步骤。