学习目标
掌握定义、公式与定理的适用条件；能从题目结构选择方法，并通过原讲义例题与练习检验掌握程度。
第 9 章：多元函数微分学
多元函数中，偏导数固定其他变量；全微分把多个独立增量的一阶影响相加。极值题必须结合定义域与二阶判别。
1. 本章复习目标
2. 知识框架
概念与性质
由基本定义出发，梳理性质、公式和定理条件。
方法与应用
结合解题模板、例题和练习完成从理解到计算的迁移。
3. 核心知识点
原讲义内容
偏导与全微分 ⭐⭐⭐
\(f_x,f_y\) 分别描述沿坐标轴方向的变化；\(dz=f_xdx+f_ydy\)。
方向导数与梯度 ⭐⭐
梯度指向增长最快方向，最大方向导数为 \(|\nabla f|\)。
极值判别 ⭐⭐⭐
先解 \(f_x=f_y=0\)，再看 \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\)。
条件极值 ⭐⭐
有约束时用拉格朗日乘数法。
| 判别 | 结论 |
|---|---|
| \(D>0,f_{xx}>0\) | 极小值 |
| \(D>0,f_{xx}<0\) | 极大值 |
| \(D<0\) | 鞍点 |
| \(D=0\) | 该判别法失效 |
例题
\(f=x^2+y^2-2x-4y\)。令偏导为零得 \((1,2)\)，且 \(D=4>0,f_{xx}=2>0\)，故在此取极小值 \(\boxed{-5}\)。
练习：求 \(f=x^2+y^2\) 在 \((1,-2)\) 的全微分
\(f_x=2x,f_y=2y\)，代点得 \(\boxed{dz=2dx-4dy}\)。
练习：判定 \(f=x^2-y^2\) 在原点
\(f_x=f_y=0,D=2\cdot(-2)-0=-4<0\)，故原点为 \(\boxed{\text{鞍点}}\)。
4. 常见题型
方法选择
原讲义中对应的解题模板与判断条件已完整保留在“核心知识点”区。
5. 典型例题
例题使用方式
先独立完成原讲义中的例题，再核对推导和公式条件。
6. 练习题
练习与解析
原有折叠练习、答案与解析均保留在“核心知识点”区。
7. 易错点
8. 公式速查
| 复习顺序 | 使用要求 | 检查项 |
|---|---|---|
| 定义与定理 | 先确认适用条件 | 对象、范围、已知条件 |
| 公式与计算 | 代入前保持符号一致 | 变量、上下标、边界或矩阵维数 |
| 结论 | 写清结果的条件或范围 | 数值、符号和逻辑方向 |
9. 本章总结
必须记忆
定义、公式与定理条件。
必须理解
概念关系与方法选择依据。
必须会做
原讲义中的例题、练习与综合题型。
容易丢分
忽略条件、符号不严谨或跳过关键步骤。