学习目标
掌握定义、公式与定理的适用条件；能从题目结构选择方法，并通过原讲义例题与练习检验掌握程度。
第 3 章：微分中值定理
本章把“某一点的导数”连接到“整个区间的变化”。考试核心不是背结论，而是准确核对各定理的区间条件。
1. 本章复习目标
2. 知识框架
概念与性质
由基本定义出发，梳理性质、公式和定理条件。
方法与应用
结合解题模板、例题和练习完成从理解到计算的迁移。
3. 核心知识点
原讲义内容
罗尔定理 ⭐⭐⭐
闭区间连续、开区间可导、端点函数值相等，则中间至少有一点导数为零。
拉格朗日中值定理 ⭐⭐⭐
某点切线斜率等于区间平均变化率，是证明不等式和估计增量的主工具。
柯西中值定理 ⭐⭐
两个函数的增量比可转化为某点导数比；是洛必达法则的理论基础。
泰勒公式 ⭐⭐
用多项式在一点附近逼近函数；关注余项与近似误差。
定理链与使用条件
| 定理 | 条件 | 结论 | 看到什么时使用 |
|---|---|---|---|
| 罗尔 | \([a,b]\) 连续，\((a,b)\) 可导，\(f(a)=f(b)\) | 存在 \(\xi\in(a,b)\)，\(f'(\xi)=0\) | 端点等值、证明导数有零点 |
| 拉格朗日 | \([a,b]\) 连续，\((a,b)\) 可导 | \(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) | 估计差值、证明不等式 |
| 柯西 | 两函数连续可导，且 \(g(b)\ne g(a)\) | \(\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\) | 两个增量的比值 |
三个定理都必须先检查“闭区间连续、开区间可导”。不能只写“由中值定理”。罗尔定理是拉格朗日定理在平均变化率为零时的特例。
解题模板
证明存在 \(\xi\)：
- 写出所用定理和区间 \([a,b]\)。
- 逐项说明连续、可导条件。
- 核对罗尔定理的端点等值，或计算拉格朗日的平均变化率。
- 代入结论，写出 \(\xi\in(a,b)\) 的存在性。
典型例题
例 1 · 罗尔定理
证明 \(x^3-3x+1=0\) 在 \((-2,0)\) 内至少有一个根。
令 \(f(x)=x^3-3x+1\)。有 \(f(-2)=-1,\ f(0)=1\)，此题应先用零点定理，不是罗尔定理：多项式在 \([-2,0]\) 连续且端点异号，故存在根。识别定理比硬套更重要。
例 2 · 拉格朗日估计
证明 \(\ln(1+x)
对 \(f(t)=\ln t\) 在 \([1,1+x]\) 用拉格朗日定理：\(\ln(1+x)-\ln1=f'(\xi)x=\frac{x}{\xi}\)，其中 \(\xi>1\)。故 \(\frac{x}{\xi}
例 3 · 泰勒展开
写出 \(e^x\) 在 \(x=0\) 的三阶麦克劳林公式。
各阶导数在 \(0\) 处均为 \(1\)，所以 \(\boxed{e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)}\)。用于近似时必须说明 \(x\) 接近 \(0\)。
练习与详细解析
1. 验证 \(f(x)=x^2-4x+3\) 在 \([1,3]\) 是否可用罗尔定理，并求 \(\xi\)
多项式处处连续可导，且 \(f(1)=f(3)=0\)，满足罗尔条件。\(f'(x)=2x-4\)，令其为零得 \(\boxed{\xi=2}\)。
2. 证明 \(|\sin x-\sin y|\le|x-y|\)
若 \(x=y\) 显然。否则对 \(\sin t\) 在以 \(x,y\) 为端点的区间用拉格朗日定理：\(\sin x-\sin y=\cos\xi(x-y)\)。取绝对值并用 \(|\cos\xi|\le1\)，即得结论。
3. 写出 \(\sin x\) 的三阶麦克劳林展开
\(\sin0=0,\cos0=1,-\sin0=0,-\cos0=-1\)，故 \(\boxed{\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)}\)。易错：二次项系数为零，不可误写 \(x^2/2\)。
4. 常见题型
方法选择
原讲义中对应的解题模板与判断条件已完整保留在“核心知识点”区。
5. 典型例题
例题使用方式
先独立完成原讲义中的例题，再核对推导和公式条件。
6. 练习题
练习与解析
原有折叠练习、答案与解析均保留在“核心知识点”区。
7. 易错点
8. 公式速查
| 复习顺序 | 使用要求 | 检查项 |
|---|---|---|
| 定义与定理 | 先确认适用条件 | 对象、范围、已知条件 |
| 公式与计算 | 代入前保持符号一致 | 变量、上下标、边界或矩阵维数 |
| 结论 | 写清结果的条件或范围 | 数值、符号和逻辑方向 |
9. 本章总结
必须记忆
定义、公式与定理条件。
必须理解
概念关系与方法选择依据。
必须会做
原讲义中的例题、练习与综合题型。
容易丢分
忽略条件、符号不严谨或跳过关键步骤。