学习目标
掌握定义、公式与定理的适用条件；能从题目结构选择方法，并通过原讲义例题与练习检验掌握程度。
第 1 章：函数、极限与连续
核心：极限描述靠近时的趋势；连续要求函数值恰等于该趋势。重点是 \(0/0\) 型极限、分段点与零点定理。
1. 本章复习目标
2. 知识框架
概念与性质
由基本定义出发，梳理性质、公式和定理条件。
方法与应用
结合解题模板、例题和练习完成从理解到计算的迁移。
3. 核心知识点
原讲义内容
极限与单侧极限 ⭐⭐⭐
双侧极限存在，当且仅当左右极限存在且相等。极限看的是邻近行为，不要求函数在该点有定义。
等价无穷小 ⭐⭐⭐
用于 \(x\to0\) 的乘除结构；不能在加减中直接替换。
连续性 ⭐⭐⭐
函数值存在、极限存在、两者相等，三项缺一不可。
夹逼与零点定理 ⭐⭐
前者处理有界振荡量乘趋零量；后者证明方程至少有一根。
知识点速览
函数与定义域
| 表达式 | 有意义条件 |
|---|---|
| \(\sqrt{A(x)}\) | \(A(x)\ge0\) |
| \(\ln A(x)\) | \(A(x)>0\) |
| \(\frac1{A(x)}\) | \(A(x)\ne0\) |
判断奇偶性时，除验证 \(f(-x)=\pm f(x)\) 外，还必须先确认定义域关于原点对称。
重要极限与等价量
\(\sin x\sim x,\ \tan x\sim x,\ \ln(1+x)\sim x,\ e^x-1\sim x,\ 1-\cos x\sim x^2/2\quad(x\to0)\)
三角函数重要极限使用弧度制。如 \(\frac{1-\cos x}{x\sin x}\) 是乘除结构，可整体替换；但 \(\sin x-x\) 为相减结构，不可这样做。
连续与间断
\(f\) 在 \(x_0\) 连续 \(\Longleftrightarrow f(x_0)\) 有定义，\(\lim_{x\to x_0}f(x)\) 存在，且 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)。
| 间断类型 | 识别特征 |
|---|---|
| 可去 | 左右极限相等且有限，函数值缺失或不等 |
| 跳跃 | 左右极限有限但不相等 |
| 无穷 | 至少一侧极限为无穷大 |
| 振荡 | 无限振荡，无极限 |
解题模板
\(0/0\) 型极限：
- 先代入确认是未定式，而非结果。
- 多项式用因式分解；根式差用有理化；标准小量转为等价量。
- 化简后再代入，并写清所用条件。
典型例题
例 1 · 因式分解
求 \(\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}\)。
代入为 \(0/0\)。在 \(x\ne2\) 时，\(\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\)，故极限为 \(\boxed4\)。极限允许原函数在该点无定义。
例 2 · 分段连续
\(f(x)=x+1(x<0),\ a(x=0),\ x^2+b(x>0)\)。使其在 \(0\) 连续。
左极限为 \(1\)，右极限为 \(b\)，函数值为 \(a\)。令三者相等，\(\boxed{a=b=1}\)。
例 3 · 零点定理
证明 \(x^3+x-1=0\) 在 \((0,1)\) 内有根。
令 \(F=x^3+x-1\)。多项式在 \([0,1]\) 连续，且 \(F(0)=-1,F(1)=1\)，端点异号；故存在 \(\xi\in(0,1)\) 使 \(F(\xi)=0\)。
练习与详细解析
1. 求 \(\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{\sin3x}\)
思路：两部分均为标准无穷小。
步骤：\(e^{2x}-1\sim2x,\ \sin3x\sim3x\)，故极限为 \(\frac{2x}{3x}=\boxed{\frac23}\)。
易错：不能漏掉内层系数 \(2,3\)。
2. 判断 \(\frac{|x|}{x}\) 在 \(0\) 处的极限
思路：求左右极限。\(x<0\) 时值为 \(-1\)，\(x>0\) 时值为 \(1\)。左右不等，所以极限不存在，为跳跃间断。
3. 证明 \(e^x+x-2=0\) 在 \((0,1)\) 内有根
令 \(F=e^x+x-2\)。它在 \([0,1]\) 连续，\(F(0)=-1<0,\ F(1)=e-1>0\)。由零点定理，结论成立。
4. 求 \(\lim_{x\to0}x\sin\frac1x\)
\(\left|x\sin\frac1x\right|\le|x|\to0\)。由夹逼定理，答案为 \(\boxed0\)。注意：振荡因子本身没极限，不妨碍乘积有极限。
4. 常见题型
方法选择
原讲义中对应的解题模板与判断条件已完整保留在“核心知识点”区。
5. 典型例题
例题使用方式
先独立完成原讲义中的例题，再核对推导和公式条件。
6. 练习题
练习与解析
原有折叠练习、答案与解析均保留在“核心知识点”区。
7. 易错点
8. 公式速查
| 复习顺序 | 使用要求 | 检查项 |
|---|---|---|
| 定义与定理 | 先确认适用条件 | 对象、范围、已知条件 |
| 公式与计算 | 代入前保持符号一致 | 变量、上下标、边界或矩阵维数 |
| 结论 | 写清结果的条件或范围 | 数值、符号和逻辑方向 |
9. 本章总结
必须记忆
定义、公式与定理条件。
必须理解
概念关系与方法选择依据。
必须会做
原讲义中的例题、练习与综合题型。
容易丢分
忽略条件、符号不严谨或跳过关键步骤。